Cho hình chóp tam giác đều (S.ABC) có cạnh (AB) bằng (a). Các cạnh bên (SA, SB, SC) tạo với đáy một góc (60^0). Gọi (D) là giao điểm của (SA) với mặt phẳng qua (BC) và vuông góc với (SA).
Bạn đang xem: Bài 6 trang 26 sgk hình học 12
LG a
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp (S.DBC) và (S.ABC).
Phương pháp giải:
+ Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Qua (B) kẻ (BD , ot , SA), chứng minh mặt phẳng qua (BC) và vuông góc với (SA) là ((BCD)).
+ Sử dụng công thức tỉ số thể tích: (dfracV_S.DBCV_S.ABC = dfracSDSA.dfracSBSB.dfracSCSC = dfracSDSA).
Lời giải chi tiết:
Vì hình chóp (displaystyle S.ABC) là hình chóp đều nên chân đường cao (displaystyle H) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Do đó (AH) là hình chiếu của (SA) lên ((ABC)) nên góc giữa (SA) và ((ABC)) bằng góc giữa (SA) và (AH) hay góc (displaystyle SAH = 60^0).
Gọi (displaystyle M) là trung điểm của cạnh (displaystyle BC) thì (displaystyle AM) là đường cao của tam giác đều (displaystyle ABC):
(displaystyle AM = ABsin 60^0= asqrt 3 over 2)
(displaystyle AH = 2 over 3.AM = asqrt 3 over 3)
(displaystyle SA = AH over c mos60^0) = (displaystyle 2asqrt 3 over 3=SB)
Xét tam giác vuông (SBM) ta có: (displaystyle SM = sqrt SB^2 - BM^2 ) ( = sqrt dfrac12a^29 - dfraca^24 = dfracasqrt 39 6).
Qua (B) kẻ (displaystyle BD , ot , SA), khi đó ta có:
(displaystyle eginarraylleft{ eginarraylBC , ot , AM\BC , ot , SHendarray ight. Rightarrow BC ot left( SAM ight) Rightarrow BC , ot , SA\left{ eginarraylSA , ot , BC\SA , ot , BDendarray ight. Rightarrow SA , ot , left( BCD ight)endarray)
Khi đó mặt phẳng ((BCD)) đi qua (BC) và vuông góc với (SA.)
(displaystyle SA , ot , left( BCD ight) Rightarrow SA , ot , DM)
Xét tam giác vuông (ADM) có: (displaystyle DM = AM.sin 60 = fracasqrt 3 2.fracsqrt 3 2 = frac3a4)
Xét tam giác vuông (SDM) có: (displaystyle SD = sqrt SM^2 - DM^2 = frac5sqrt 3 12a)
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:
(displaystyle V_S.DBC over V_S.ABC = SD over SA.SB over SB.SC over SC ) (displaystyle = 5asqrt 3 over 12:2asqrt 3 over 3 = 5 over 8)
LG b
b) Tính thể tích của khối chóp (S.DBC).
Xem thêm: Kể Lại Một Câu Chuyện Cổ Tích Mà Em Thích, Kể Lại Một Truyện Cổ Tích Bằng Lời Văn Của Em
Phương pháp giải:
Tính thể tích khối chóp (S.ABC) sau đó tính thể tích khối chóp (S.DBC).
Lời giải chi tiết:
Ta có: (displaystyle S_ABC = frac12AB.AC.sin 60^0)= (displaystyle a^2sqrt 3 over 4)
(displaystyle SH = AH. an 60^0 = a)
(displaystyle Rightarrow V_S.ABC = 1 over 3.SH.S_ABC) ( = dfrac13.a.dfraca^2sqrt 3 4 = dfraca^3sqrt 3 12)
Từ kết quả câu a) ta có:
(displaystyle V_S.DBC = 5 over 8.V_S.ABC) (displaystyle Rightarrow V_S.BDC = 5 over 8.a^3sqrt 3 over 12)