1). Cho hàm số xác định trên khoảng

*
và
*
. Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số
*
khi
*
được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại , kí hiệu
*
hay
*
. Như vậy ta có
*
.

Nhận xét:

Nếu đặt

*
và thì ta có
*
. Trong đó được gọi là số gia của biến số tại và gọi là số gia của hàm số ứng với số gia tại .

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm thì f(x) liên tục tại . Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng.

2). Cho đường cong (C), điểm cố định thuộc (C) và

*
. Gọi
*
là hệ số góc của cát tuyến
*
. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn
*
. Khi đó đường thẳng
*
qua có hệ số góc
*
được gọi là tiếp tuyến của (C) tại . Điểm gọi là tiếp điểm.

3). Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại đó tại điểm .

Hệ quả:

Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình:

*
.

4). Khí hiệu D là một khoảng hay là hợp của những khoảng nào đó. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại tại mọi điểm

*
thì ta nói hàm số có đạo hàm trên D. Khi đó đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x tùy ý của D được kí hiệu hay . Ta nói hay là đạo hàm của hàm số trên tập D.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: Tìm số gia của hàm số.

PHƯƠNG PHÁP

Để tính số gia của hàm số tại điểm tương ứng với số gia

*
cho trước ta áp dụng công thức: .




Bạn đang xem: Bài giảng đạo hàm

Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số

*
, biết rằng:

a).

*
b).
*


LỜI GIẢI

a). Ta có

*

b). Ta có

*

*


Ví dụ 2: Tính và

*
của các hàm số sau theo x và

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*


LỜI GIẢI

a). Ta có

*
. Suy ra
*

b). Ta có

*

*
.

Suy ra

*
.

c). Ta có

*

*
.

Suy ra

*
.

d). Ta có

*

*

*

Suy ra

*

*
.

DẠNG 2: Tìm đạo hàm bằng định nghĩa

PHƯƠNG PHÁP

Để tìm đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa ta có thể sử dụng một trong hai cách sau đây:

Cách 1:

Cho một số gia

*
. Lập tỉ số
*
.

Tìm giới hạn

Kết luận:

+ Nếu tồn tại hữu hạn thì tại hàm số có đaọ hàm là:

*

+ Nếu không tồn tại hữu hạn thì tại hàm số không có đạo hàm.

Cách 2:

Tính giá trị của .

Kết luận:

+ Nếu tồn tại hữu hạn bằng L thì tại , ta có

*

+ Nếu không tồn tại hữu hạn thì tại hàm số không có đạo hàm.


Ví dụ : Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a).

*
tại b). tại

c). tại d). tại




Xem thêm: Bài Văn Khấn Đêm 30 Tết ) - Văn Khấn Cúng Giao Thừa Đêm 30 Tết

LỜI GIẢI

a). Cách 1: Cho một số gia . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng:

*

Ta có

*
.

Cách 2:

*

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại và

*
.

b). tại

Cách 1: Cho một số gia . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng:

*

*

Ta có

*
.

Cách 2:

*

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại và

*
.

c). tại

Cách 1: Cho một số gia . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng:

*

Ta có

*
.

Cách 2:

*

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại và

*
.

d). tại

Cách 1: Cho một số gia . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng:

*

Ta có

*
.

Cách 2:

*

Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại và

*
.

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

TÓM TẮT GIÁO KHOA

1). Định lý 1: Cho các hàm số có đạo hàm trên (a;b) thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và

*
*

Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng cho tổng hay hiệu của hữu hạn các hàm số.

2). Định lý 2: Cho các hàm số có đạo hàm trên (a;b) thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và

*
.

Đặc biệt :

*
( a là hằng số),

Chú ý: Định lý 2 có thể mở rộng cho tích của hữu hạn các hàm số. Chẳng hạn:

*

3). Định lý 3: Cho các hàm số có đạo hàm trên (a;b) và

*
trên (a;b) thì thương
*
cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và

*

Hệ quả:

*

4). Cho hai hàm số và . Ta gọi hàm số

*
là hàm số hợp của hai hàm số và . Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức có nghĩa.

5). Định lý 4: Nếu hàm số

*
có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm
*
thì hàm số hợp
*
cũng có đạo hàm tại điểm và
*
hay
*
.

Hệ quả:

*
và
*
*

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM


Giả sử

*
là các hàm số có đạo hàm, khi đó:

1). (u + u - w)" = u" + v" - w"; 2). (uv)" = u"v + v"u; 3) (k.u)" = k.u" (

*
)