Bài Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Lớp 9

Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình với đầy đủ các dạng toán: chuyển động, năng suất, làm chung – làm riêng, tỉ số phần trăm, quan hệ giữa các số, bài toán hình học…

Nào hãy bắt đầu thôi!

Đầu tiên, ta cần phải nhắc lại các bước để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Bạn đang xem: Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9

Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất

Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Toán 9 đầy đủ các dạng
Các bước Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trìnhCác dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình

Các bước Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Về cơ bản, các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình không khác mấy so với giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Có khác thì chỉ là thêm một phương trình nữa thôi.

Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập hệ phương trình

Xác định đại lượng cần tìm, đại lượng đã cho, mối quan hệ giữa các đại lượngChọn các ẩn phù hợp, đặt điều kiện cho ẩn sốBiểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biếtLập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải hệ phương trìnhvừa tìm được

Thực hiện giải hệ phương trình theo hai cách đã học: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Nếu bạn chưa rõ thì xem tại đây.

(bấm máy tại đây)

Bước 3: Kiểm tra và kết luận

Kiểm tra xem nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩnKết luận: Trả lời câu hỏi của đề bài

Các dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình

Dạng 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về chuyển động

Phương pháp giải:

Đối với chuyển động của 1 vật thì ta chú ý có 3 đại lượng: quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa s, v và t như sau: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian (s = v.t)Vận tốc = Quãng đường : Thời gianThời gian = Quãng đường : Vận tốcKhi vật chuyển động trên mặt nước, ta có công thức liên hệ giữa vận tốc thực (vận tốc riêng của ca nô) và vận tốc nước như sau: Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng của ca nô + Vận tốc dòng nướcVận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – Vận tốc dòng nướcCác đơn vị của ba đại lượng phảiphù hợpvới nhauQuãng đường tính bằng km, vận tốc km/h thì thời gian tính bằng giờ (h)Quãng đường tính bằng m, vận tốc m/s thì thời gian tính bằng giây (s)

Bây giờ ta sẽ thực hành giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình qua các ví dụ sau.

Các ví dụ về giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình: (SGK toán 9 tập 2)

Một chiếc xe tải đi từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Ssau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP. Cần Thơ về TP. Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

Hướng dẫn giải:

Ta sẽ giải bài toán này bằng cách lập hệ phương trình nhé!

Ta sẽ tiến hành lập bảng để thấy rõ mối quan hệ giữa các đại lượng.

Quy tắc lập bảng như sau: cột đầu tiên là các vật/ các xe/ các nhóm/người tham gia vào hoạt động, cột tiếp theo sẽ là các đại lượng ví dụ trong bài này, đó là các cột s, v, t.

Bài toán hỏi vận tốc mỗi xe thì bạn điền ô vận tốc xe tải, vận tốc xe khách tương ứng gọi là x, y (>0 )(km/h), các ô còn lại ta sẽ điền dựa vào công thức liên hệ giữa s, v, t.

	Quãng đường (s)	Vận tốc (v)	Thời gian (t)
Xe tải	14x/5 (km)	x (km/h)	1h + 9/5 h = 14/5 (h)
Xe khách	9y/5 (km)	y (km/h)	1h48p = 9/5 (h)

Giải thích: Khi hai xe gặp nhau thì:

Thời gian xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút = 9/5 giờThời gian xe tải đã khởi hành trước 1h xe khách nên đến khi gặp xe khách là xe tải đã đi 1+9/5 giờ = 14/5 giờ

Ta bắt tay vào lập phương trình biểu thị giả thiết:

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km tức là: y = x + 13 hay -x +y = 13Quãng đường từ HCM đến Cần Thơ dài 189 km tức là: hai quãng đường hai xe đi được đến chỗ gặp nhau có tổng bằng 189: 14x/5 + 9y/5 = 189

Như vậy ta đã lập được hệ phương trình để giải bài toán trên.

Giải hệ phương trình

ra kết quả x = 36, y = 49. 

Vậy vận tốc của xe tải là 36 km/h, vận tốc xe khách là 49 km/h. Ta kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán. 

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.

Hướng dẫn giải:

Ta sẽ gọi độ dài quãng đường AB là x (km) và thời gian dự định của ô tô đi từ A đến B là y (h). (x, y>0)

Lưu ý ta cần tìm thời điểm xuất phát tại A của ô tô thì chỉ cần lấy 12 giờ trừ đi thời gian ô tô đi hết quãng đường AB, tức là 12 – y.

Ta lập bảng như sau:

	Quãng đường	Vận tốc	Thời gian
Dự định	x	x/y km/h	y
Giả định 1	x	35 km/h	x/35
Giả định 2	x	50 km/h	x/50

Trong giả định 1, nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định, tức là:

Trong giả định 2, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định, nên ta có:

Vậy hệ phương trình ta lập được sẽ là:

Ta được kết quả x = 350 và y = 8 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy quãng đường AB dài 350 km và thời điểm xuất phát tại A của ô tô là 4(=12-8) giờ sáng.

Dạng 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về năng suất

Đây là dạng toán khá quen thuộc khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, tuy nhiên bạn cần nắm được các đại lượng của dạng toán này.

Bài toán về năng suất có 3 đại lượng: khối lượng công việc, năng suấtvàthời gian.Mối quan hệ giữa 3 đại lượng:Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gianNăng suất = Khối lượng công việc : Thời gianThời gian = Khối lượng công việc : Năng suấtBài toán về công việc làm chung, làm riêng, hay vòi nước chảy chung, chảy riêng thì ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.Suy ra năng suất là 1/ Thời gian.Lập phương trình theo: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.

Sau đây, ta cùng làm ví dụ để hiểu cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất nhé:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Hướng dẫn giải:

Ta lưu ý cả đoạn đường được xem là 1 công việc.

Và hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong tức là một ngày hai đội làm chung được 1/24 công việc.

Phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B tức là gấp 1,5 lần. Ở đây nói về năng suất đội A gấp 1,5 lần năng suất đội B.

Người ta hỏi thời gian (số ngày) mỗi đội một mình làm xong công việc thì ta gọi luôn số ngày đội A và B làm 1 mình xong việc lần lượt là x, y (>0).

Ta có thể dùng bảng cho dễ nhìn ra mối liên hệ giữa các đại lượng.

	Công việc	Thời gian	Năng suất
Chung	1	24 (ngày)	1/24
Đội A	1	x (ngày)	1/x
Đội B	1	y (ngày)	1/y

Mỗi ngày đội A làm được 1/x công việc, đội B làm được 1/y công việc, và năng suất đội A gấp 1,5 đội B nên ta có phương trình:

Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được 1/24 công việc. Ta có phương trình:

Vậy ta có hệ phương trình 

Giải hệ trên bằng cách đặt ẩn phụ 

Ta được kết quả u = 1/40, v = 1/60. Vậy x = 40 và y = 60.

Hai kết quả đều thỏa mãn, vậy ta trả lời:

Đội A làm 1 mình hết 40 ngày thì xong công việc, đội B làm 1 mình hết 60 ngày thì xong công việc.

* Ta có thể giải bài toán trên bằng cách gọi x là năng suất đội A, y là năng suất của đội B và lập hệ phương trình.

 

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta gọi thời gian vòi thứ nhất và thứ hai chảy riêng đầy bể lần lượt là x, y (>0) (phút).

	Bể	Thời gian	Năng suất
Chảy chung	1	1h20p = 80 phút	1/80 bể
Vòi thứ nhất	1	x phút	1/x bể
Vòi thứ hai	1	y phút	1/y bể

Như vậy nếu mở vòi 1 trong 10 phút ta được 10/x bể và nếu mở vòi 2 trong 12 phút ta được 12/y bể, ta được tổng là 2/ 15 bể nước.

Suy ra phương trình:

Hai vòi chảy chung thì bể sẽ đầy trong 80 phút, vì thế số phần hai vòi chảy trong mỗi phút là 1/80, tức là:

Ta có hệ phương trình gồm hai phương trình trên, và ta đặt ẩn u = 1/x, v = 1/y để giải.

Ta thu được u = 1/120, v = 1/240 suy ra x = 120, y = 240 và đối chiếu điều kiện thỏa mãn rồi trả lời:

Vòi thứ 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút.

Vòi thứ 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút.

Dạng 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về số và chữ số

Đây là các bài toán liên quan đến các số: số liên tiếp, tổng, hiệu, tích,… giữa các số hoặc cấu tạo số, các chữ số. Ta cần nắm được các kiến thức về số và chữ số.

Khi giải bài toán về số và chữ số, phải nhớ rằng:

Nếu A hơn B k đơn vị thì A – B = k hoặc A = B + k.Hai số liên tiếp thì hơn kém nhau 1 đơn vị.Nếu A gấp k lần B thì A = kBNếu A bằng 1/2 B thì A = B.1/2

4. Số có hai chữ số

với x > 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 9, y lớn hơn hoặc = 0 và y nhỏ hơn hoặc bằng 9.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Ta cần tìm hai chữ số là hàng chục và hàng đơn vị nên đều là những số tự nhiên, và có thể viết ngược lại được một số mới là số có hai chữ số nên hai số cần tìm đều phải khác 0.

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y.

Giải hệ trên ta được x = 7, y = 4. Vậy số ta cần tìm là 74.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

Hướng dẫn giải:

Gọi số lớn là x, số bé là y (x, y > 0 và thuộc N).

Tổng chúng bằng 1006 ta có phương trình:

x + y = 1006

Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư 124, tức là:

x = 2y + 124 => x – 2y = 124

Ta có hệ phương trình như sau:

Giải hệ trên ta được x = 712, y = 294.(thỏa mãn điều kiện) 

Vậy số lớn cần tìm là 712 và số bé là 294.

Xem thêm: Top 44 Bài Văn Tả Một Loại Trái Cây Mà Em Thích Hay Nhất, Top 44 Bài Văn Tả Trái Cây Lớp 5 Hay Nhất

Dạng 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về hình học

Khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về hình học, ta cần phải nhớ lại các công thức tính diện tích các hình thường gặp như hình tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông.