Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Định nghĩa: Xét phương trình F(x,y) = 0 (1) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác định. Nếu

*
thì (1) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta có:

*

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

Bạn đang xem: Bài tập về đạo hàm hàm ẩn

Ví dụ: Phương trình

*
xác định 2 hàm số
*
nên (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

2. Định lý:

Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó

*
là hàm số theo 2 biến x,y có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U. Giả sử
*
, nếu
*
thì (1) xác định trong 1 lân cận nào đó của
*
một hàm số ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số ấy bằng
*
khi
*
, liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

(Ta không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo cách chứng minh định lý trong quyển Toán học Cao cấp tập 3, của tác giả Nguyễn Đình Trí )

Vậy điều kiện để tồn tại 1 hàm ẩn gồm các điều kiện:

1. F(x,y) là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục.

2. Tồn tại

*

3.

*

Ví dụ: Phương trình

*
xác định 1 hàm số ẩn vì xét:
*
xác định với x, y dương, hàm số này có các đạo hàm riêng liên tục, và F(1,1) = 0 ,
*
*

3. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 1 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y) = 0 (1) xác định 1 hàm ẩn y = f(x) thì ta có: F(x,f(x)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y. Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của (1) theo biến x bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó:

*

Mà

*
nên suy ra:
*

Ví dụ: Cho

*
Tìm
*
?

Xét

*
. Dễ dàng thấy F(x,y) liên tục và F(0;0) = 0 nên phương trình xác định 1 hàm ẩn y theo biến x.

Xem thêm: Vật Lý 6: Tìm Hiểu Kết Quả Tác Dụng Của Lực, Vật Lý 6 Bài 7: Tìm Hiểu Kết Quả Tác Dụng Của Lực

Ta có:

*

Do đó:

*

Lưu ý: Việc tìm

*
là quan trọng vì nếu không sẽ dẫn tới tình huống phương trình vô nghiệm (ví dụ:
*
) nhưng vẫn có dy/dx ( – x/y) (!!!)

– Nhìn chung, đạo hàm dy/dx lại là 1 biểu thức liên quan đến x và y. Trong biểu thức đó, phải xem y là hàm theo biến x

Ví dụ 2: Tìm

*
nếu
*

Xét

*
(việc kiểm tra phương trình tồn tại hàm ẩn dành cho bạn đọc)

Khi đó ta có:

*

Để tìm đạo hàm cấp 2

*
, ta lấy đạo hàm của (*) theo biến x, trong đó y là hàm theo x. Ta có:

*

4. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 2 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y,z) = 0 (2) xác định 1 hàm ẩn 2 biến z = f(x;y) thì tương tự ta có: F(x;y;f(x;y)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của 2 biến số x, y thông qua biến trung gian z. Do đó, ta sẽ lấy các đạo hàm riêng của (1) theo biến x (hoặc y) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó:

*

Nếu

*
thì suy ra:
*

Tương tự:

*

Nhận xét: ngoài cách tính theo công thức trên, ta có thể xác định các đạo hàm riêng bằng quy tắc tính vi phân. Nghĩa là tính vi phân toàn phần của hàm F(x,y,z) bằng quy tắc vi phân và cho nó bằng 0: