Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là khái niệm các em đã làm quen ở những lớp học trước. Tuy nhiên, cũng như các môn học khác, kiến thức ở 12 sẽ có các dạng toán khó hơn phức tạp hơn các lớp trước.
Bạn đang xem: Bài tập về tính đơn điệu của hàm số
Ngoài những bài tập xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể, tường minh thì dạng toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập số thực R hay trên một khoảng cho trước có tham số sẽ khó hơn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay
I. Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số cần nhớ.
1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).
- Hàm số y = f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 ⇒ f(x1) 2).
- Hàm số y = f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 ⇒ f(x1) > f(x2).
• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f"(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f"(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f"(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f"(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
• Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu f"(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
- Nếu f"(x) II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số
° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể (không có tham số)
* Phương pháp:
- Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f"(x)
- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f"(x) = 0 hoặc f"(x) không xác định.
- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên
- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a)
b)
c)
° Lời giải:
a)
- Tập xác định : D = R
- Ta có: y" = 3 – 2x
- Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.
- Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4
- Ta có bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2) và nghịch biến trong khoảng (3/2;+∞).
b)
- Tập xác định: D = R
- Ta có: y" = x2 + 6x - 7
- Cho y" = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7
- Tại x = 1 ⇒ y = (-17)/3; Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.
- Ta có bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞;-7) và (1;+∞); nghịch biến trong khoảng (-7;1).
c)
- Tập xác định: D = R
- Ta có: y"= 4x3 – 4x.
- Cho y" = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1
- Tại x = 0 ⇒ y = 3; Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2
- Ta có bảng biến thiên:
* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a) b)
c) d)
° Lời giải:
a)
- Tập xác định: D = R 1
- Ta có:
Vì y" không xác định tại x = 1
- Ta có bảng biến thiên sau:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).
b) Học sinh tự làm
c)
- Tập xác định: D = (-∞;-4>∪<5;+∞)
- Ta có:
- Cho
y" không xác định tại x = -4 và x = 5
- Ta có bảng biến thiên sau
- Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-4); đồng biến trong khoảng (5;+∞).
d) Học sinh tự làm
° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m
* Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH
* Phương pháp:
• Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d; (a≠0).
+ Tính f"(x) =3ax2 + 2bx + c, khi đó:
- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R
- Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R
- Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.
* Ví dụ 2: Cho hàm số:
° Lời giải:
- TXĐ: R-m.
- Ta có:
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi:
- Từ bảng biến thiên ta có:
- Kết luận: Vậy với m ≤ -2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng <1;+∞).
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên <-1;3>.
- Để hàm số nghịch biến trên <-1;3> thì f"(x)≤0, ∀x ∈ <-1;3>.
⇒ 3x2 - 6x - 3(m + 1) ≤ 0,∀x ∈ <-1;3>.
⇒ x2 - 2x - m - 1 ≤ 0, ∀x ∈ <-1;3>.
⇒ x2 - 2x - 1 ≤ m, ∀x ∈∀x ∈ <-1;3>.
- Đặt y(x) = x2 - 2x - 1 ⇒ y"(x) = 2x - 2
- Cho y"(x) = 0 ⇒ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:
- Từ bảng biến thiên ta có:
- Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số (*) đồng biến trên khoảng <-1;3>.
Như vậy, hy vọng qua bài viết này, các em sẽ dễ dàng giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định hay trên một khoảng cho trước. Việc vận dụng thuần thục dạng toán này sẽ giúp ích cho các em rất nhiều ở các bài tập liên quan hàm số.
Xem thêm: Bài Đất Nước Lớp 12 - Bài Thơ Đất Nước Nguyễn Khoa Điềm Lớp 12
Nội dung hàm số ở chương trình lớp 12 vẫn còn rất nhiều các bài toán liên quan, fundacionfernandovillalon.com hẹn gặp các em ở các chuyên đề tiếp theo. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để 