Xét sự biến thiên của hàm số lớp 10

Với hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$, chúng ta có hai đại lượng thay đổi là $x$ và $y$. Nếu chúng thay đổi “cùng chiều” (cùng tăng hoặc cùng giảm) ta có hàm số đồng biến, nếu chúng thay đổi “ngược chiều” ta có hàm số nghịch biến. Do sự thay đổi của $y$ phụ thuộc vào $x$ nên ta có thể chọn $x$ thay đổi từ nhỏ đến lớn để xét sự thay đổi của $y$.

Bạn đang xem: Bảng biến thiên lớp 10

1. Xét sự biến thiên của hàm số

1.1. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $mathbbK$ (là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn).

Hàm số đó được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: $forall x_1,x_2in mathbbK,x_1Hàm số đó được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: $forall x_1,x_2in mathbbK,x_1f(x_2)$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến hoặc có thể không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó trong tập xác định của nó.


*

Đồ thị của hàm số đồng biến


Xét theo hướng từ trái qua phải (tức là chiều tăng của đối số $x$) thì:

Đồ thị hàm số đồng biến có hướng đi lên (tăng).Đồ thị hàm số nghịch biến có hướng đi xuống (giảm).

Từ định nghĩa, ta có các cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)$ trên $mathbbK$.

1.2. Cách xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Cách 1. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng định nghĩa. Sử dụng giả thiết $x_1,x_2in mathbbK$ bất kỳ $x_11-2x_2geqslant 0 Rightarrow sqrt1-2x_1>sqrt1-2x_2$$ hay hàm số nghịch biến trên $left( -infty ,frac12 ight>$.

Cách 2. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng xét dấu tỷ số biến thiên $$T=fracf(x_2)-f(x_1)x_2-x_1$$ với $x_1,x_2in mathbbK$ bất kỳ và $x_1 e x_2$.

Nếu $T > 0$ thì hàm số đồng biến trên $mathbbK$;Nếu $T

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y = f(x) = x + 3$.

Hướng dẫn.

Tập xác định $ mathcalD=mathbbR.$Với mọi $x_1, x_2 in mathbbR$ và $ x_1 e x_2$ ta có: eginalign T&= fracf(x_1) – f(x_2)x_1 – x_2\ &= frac(x_1 + 3) – (x_2 + 3)x_1 – x_2 = 1 > 0, forall xin mathbbR endalignVậy, hàm số đồng biến trên $ mathbbR$.

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $ y = f(x) = x^3 + 2x + 8.$

Hướng dẫn.

Tập xác định $ mathcalD=mathbbR.$Với mọi $x_1, x_2 in mathbbR$ và $ x_1 e x_2$ ta có: eginalignT &= fracf(x_1) – f(x_2)x_1 – x_2\&= frac(x_1^3 + 2x_1 + 8) – (x_2^3 + 2x_2 + 8)x_1 – x_2\&= frac(x_1^3 – x_2^3) + (2x_1 – 2x_2)x_1 – x_2\&= x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 + 2\&= frac12(x_1 + x_2)^2 + frac12(x_1^2 + x_2^2) + 2 > 0, forall xin mathbbR.endalignVậy, hàm số đồng biến trên $ mathbbR$.

Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số $y=dfrac3x+1x-2$ trên các khoảng $left( -infty ;,2 ight)$ và $left( 2;+infty ight)$.

Xét tỉ số biến thiên eginalign T&=fracy_1-y_2x_1-x_2\ &=fracfrac3x_1+1x_1-2-frac3x_2+1x_2-2x_1-x_2\ &=fracleft( 3+frac7x_1-2 ight)-left( 3+frac7x_2-2 ight)x_1-x_2\& =-frac7left( x_1-2 ight)left( x_2-2 ight)endalign

Suy ra với $x_1,x_2in left( -infty ;,2 ight)$ hoặc $x_1,x_2in left( 2;+infty ight)$ thì $T Tập xác định $ mathcalD=mathbbR$.Với $ x_1, x_2 in mathcalD $ và $ x_1 e x_2$ ta có: eginalignT&=fracf(x_1) – f(x_2)x_1 – x_2\&=fracsqrt x_1^2 + 2 – sqrt x_2^2 + 2 x_1 – x_2\&=frac(x_1^2 + 2) – (x_2^2 + 2)(x_1 – x_2)(sqrt x_1^2 + 2 + sqrt x_2^2 + 2 )\&=fracx_1 + x_2sqrt x_1^2 + 2 + sqrt x_2^2 + 2 .endalignKhi đó:Nếu $x_1, x_2 >$ 0 thì $ T > 0$ và do đó hàm số đồng biến trên $ (0; +infty)$.Nếu $ x_1, x_2

Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm số $y=x^3+sqrt2x+3$ trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn. Ta có hàm số đã cho có tập xác định là $mathcalD=left< -frac32;+infty ight)$.

Các hàm số $y=x^3$ và $y=sqrt2x+3$ đều là các hàm số đồng biến trên $mathcalD$ nên hàm số $y=x^3+sqrt2x+3$ là hàm số đồng biến trên $mathcalD$.

Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

$f(x)=x^3sqrt2x-3$;$g(x)=x^3sqrt2x+3$.

2. Các ví dụ khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10

Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng $(1; +infty)$

$y = frac3x-1$$y = x + frac1x$

Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên tập xác định của nó:

$y = sqrt3x-1+sqrtx$$y = x^3 +sqrtx$

Bài 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra

$f(x)=-2x^2-7$ trên khoảng $(-4,0)$ và trên khoảng $(3,10)$;$f(x)=fracxx-7$ trên khoảng $(-infty,7)$ và trên khoảng $(7,+infty)$;$y=-3x+2$ trên $mathbbR$;$y=x^2+10x+9$ trên khoảng $(-5,+infty)$;$y=-frac1x+1$ trên khoảng $(-3,-2)$ và $(2,3)$.

Bài 4. Xét tính đồng biến hay nghịch biến của các hàm số trên khoảng cho trước:

$y=sqrtx$ trên $left( 0;+infty ight)$;$y=frac1x+2$ trên $left( -infty ;-2 ight)$;$y=x^2-3x$ trên $left( 2;+infty ight)$;$y=x^3+2x-1$ trên $left( -infty ;+infty ight)$;$y=x^3-3x$ trên $left( 1;+infty ight)$;$y=sqrtx^2-1+x$ trên $left( 1;+infty ight)$.

Bài 5. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=fracxx-2 $ trên tập xác định của nó.

Bài 6.

Xem thêm: Sinh Năm 1966 Mệnh Gì? Tuổi Bính Ngọ Hợp Tuổi Nào, Màu Gì? Sinh Năm 1966 Mệnh Gì

Xét sự biến thiên của hàm số $ y=ig| x+|2x-1|ig|$ trên tập xác định của nó.