Nguyên hàm lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán cấp 3. Các công thức nguyên hàm lượng giác có nhiều mức độ, từ hàm sơ cấp cho đến các công thức hàm hợp, theo đó là rất nhiều dạng bài tập khác nhau. fundacionfernandovillalon.com Education sẽ tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng bài tập vận dụng liên quan qua bài viết sau.

Bạn đang xem: Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác cực hay


eginaligned&small ext1. Hằng đẳng thức lượng giác:\& ull sin^2x+cos^2x=1\& ull frac1sin^2x=1+cot^2x\& ull frac1cos^2x=1+tan^2x\&small ext2. Công thức cộng:\& ull sin(apm b)=sina.cosbpm sinb.cosa\& ull cos(apm b)=cosa.cosbmp sina.cosb\& ull tan(apm b)=fractana pm tanb1mp tana.tanb\&small ext3. Công thức nhân đôi:\& ull sin2a=2sina.cosa\& ull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\&small ext4. Công thức nhân ba:\& ull sin3a=3sina-4sin^3a\& ull cos3a=4cos^3a-3cosa\&small ext5. Công thức hạ bậc:\& ull sin^2a=frac1-cos2a2\& ull cos^2a=frac1+cos2a2\&small ext6.Công thức biến đổi tích thành tổng:\& ull cosa.cosb=frac12\& ull sina.sinb=frac12\& ull sina.cosb=frac12\endaligned

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản


*

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = u(x)


*

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = ax + b


*


Lý Thuyết Và Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

6 dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp và phương pháp giải

Các bài toán tìm nguyên hàm lượng giác rất đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có cách biến đổi và hướng giải khác nhau. Vì vậy, fundacionfernandovillalon.com Education đã tổng hợp 6 dạng toán thường gặp nhất và phương pháp giải của từng dạng để giúp các em nắm vững các bài toán dạng này.

Dạng 1


eginaligned& extDùng đồng nhất thức:\&1=fracsin(a-b)sin(a-b)=fracsin<(x+a)-(x+b)sin(a-b)=fracsin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)sin(a-b)\& extTừ đó suy ra:\&I=frac1sin(a-b)intfracsin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)sin(x+a)sin(x+b)dx\& =frac1sin(a-b)int left< fraccos(x+b)sin(x+b)-fraccos(x+a)sin(x+a) ight>dx\& =frac1sin(a-b)+Cendaligned

eginaligned&ull J=intfracdxcos(x+a)cos(x+b) ext bằng các dùng đồng nhất thức 1=fracsin(a-b)sin(a-b).\&ull K=intfracdxsin(x+a)cos(x+b) ext bằng các dùng đồng nhất thức 1=fraccos(a-b)cos(a-b).\endaligned
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau đây:


I=int fracdxsinx.sinleft(x+fracpi6 ight)
Bài giải:
eginaligned& extTa có:\&1=fracsinfracpi6sinfracpi6=fracsinleftfrac12=2left\& extTừ đó:\&I=2intfracleftsinx.sinleft(x+fracpi6 ight)dx\& =2int leftdx\& =2intfracd(sinx)sinx-2intfracdleftsinleft(x+fracpi6 ight)\& =2lnleft|fracsinxsinleft(x+fracpi6 ight) ight|+Cendaligned

Dạng 2


I=int tan(x+a)tan(x+b)dx
Phương pháp giải:
eginaligned& extTa có:\& tan(x+a)tan(x+b)\&=fracsin(x+a)sin(x+b)cos(x+a)cos(x+b)\&=fracsin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)cos(x+a)cos(x+b)-1\&=fraccos(a-b) cos(x+a)cos(x+b)-1\& extTừ đó:\&I=cos(a-b)intfracdxcos(x+a)cos(x+b)-1\& extĐến đây, ta gặp bài toán tìm nguyên hàm lượng giác ở extbfDạng 1.endaligned
eginaligned& extTa có:\&tanleft(x+fracpi3 ight)cotleft(x+fracpi6 ight)\&=fracsinleft(x+fracpi3 ight)cosleft(x+fracpi6 ight)cosleft(x+fracpi3 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)\&=fracsinleft(x+fracpi3 ight)cosleft(x+fracpi6 ight)- cosleft(x+fracpi3 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)cosleft(x+fracpi3 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)+1\&=fracsinleft< left(x+fracpi3 ight)-left(x+fracpi6 ight) ight>cosleft(x+fracpi3 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)+1\&=frac12.frac1cosleft(x+fracpi3 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)+1\& extTừ đó:\&K=frac12int frac1cosleft(x+fracpi3 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)dx+int dx\& =frac12K_1+x+C\& extĐến đây, bằng cách tính ở dạng 1, ta tính được:\&K_1=int frac1cosleft(x+fracpi3 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)dx=frac2sqrt3lnleft| fracsinleft(x+fracpi6 ight)cosleft(x+fracpi3 ight) ight|+C\& extSuy ra:\&K=fracsqrt33lnleft| fracsinleft(x+fracpi6 ight)cosleft(x+fracpi3 ight) ight|+x+Cendaligned

Dạng 3


I=intfracdxasinx+bcosx
Phương pháp giải:
eginaligned& extTa có:\&asinx+bcosx=sqrta^2+b^2 left( fracasqrta^2+b^2sinx+fracbsqrta^2+b^2cosx ight)\&Rightarrow asinx+bcosx=sqrta^2+b^2sin(x+alpha)\&Rightarrow I=frac1sqrta^2+b^2int fracdxsin(x+alpha)=frac1sqrta^2+b^2 ln left|tanfracx+alpha2 ight|+Cendaligned
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau:


I=intfrac2dxsqrt3 sinx+cosx
Bài giải:
eginaligned&I=intfrac2dxsqrt3 sinx+cosx=intfracdxfracsqrt32 sinx+frac12cosx=int fracdxsinxcosfracpi6+cosxsinfracpi6\& =int fracdxsinleft(x+fracpi6 ight)=int fracdleft(x+fracpi6 ight)sinleft(x+fracpi6 ight)=lnleft| tanfracx+fracpi62 ight|+C=lnleft| tanleft(fracx2+fracpi12 ight) ight|+Cendaligned

Dạng 4


I=intfracdxasinx+bcosx
Phương pháp giải:
extĐặt tanfracx2=t Rightarrowegincasesdx=frac2dt1+t^2\sinx=frac2t1+t^2\cosx=frac1-t^21+t^2\tanx=frac2t1-t^2 endcases
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau đây:


K=intfracdxsinx+tanx
Bài giải:
eginaligned& extĐặt tanfracx2=t Rightarrowegincasesdx=frac2dt1+t^2\sinx=frac2t1+t^2\tanx=frac2t1-t^2 endcases\& extTừ đó:\&K=int fracfrac2t1+t^2frac2t1+t^2+frac2t1-t^2=frac12int frac1-t^2tdt=frac12intfracdtt-frac12int tdt\& = frac12ln|t|-frac14t^2+C= frac12lnleft|tanfracx2 ight|-frac14tan^2fracx2+Cendaligned

Dạng 5


I=intfracdxasin^2x+bsinxcosx+ccos^2x
Phương pháp giải:
eginaligned&I=intfracdx(atan^2x+btanx+c)cos^2x\& extĐặt tanx=tRightarrow fracdxcos^2x=dt\& extSuy ra: I=int fracdtat^2+bt+cendaligned
Ví dụ:Tính nguyên hàm dưới đây:


J=int fracdxsin^2x-2sinxcosx-2cos^2x
Bài giải:
eginaligned& extĐặt tanx=t Rightarrowfracdxcos^2x=dt\&Rightarrow J=intfracdtt^2-2t-2=int fracd(t-1)(t-1)^2-(sqrt3)^2=frac12sqrt3lnleft|fract-1-sqrt3t-1+sqrt3 ight|+C\& =frac12sqrt3lnleft|fractanx-1-sqrt3tanx-1+sqrt3 ight|+Cendaligned

Dạng 6


I=intfraca_1sinx+b_1cosxa_2sinx+b_2cosxdx
Phương pháp giải:
eginaligned& extTa tìm A, B sao cho:\&a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx)endaligned
Ví dụ:Tính nguyên hàm sau:


I=intfrac4sinx+3cosxsinx+2cosxdx
Bài giải:
eginaligned& extTa tìm A, B sao cho:\&4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\&Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx Rightarrowegincases A-2B=4\2A+B=3endcases Leftrightarrowegincases A=2\B=-1endcases \& extTừ đó:\&I=intfrac2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)sinx+2cosxdx\& =2int dx-int fracd(sinx+2cosx)sinx+2cosx\& =2x-ln|sinx+cos2x|+Cendaligned
eginaligned& Taspace có:space sin^3x.cosxdx=lmoustache sin^3x.d(sinx)\& Đặtspace u=sinxspace taspace được:\& I=lmoustache sin^3x.cosxdx=lmoustache sin^3d(sinx)\& u^3du=fracu^44+c=fracsin^4x4+Cendaligned
eginaligned& intop fraccos^5xsinxdx=intop frac(1-sin^2x)^2dsinxsinx=intop igg( frac1sinx-2sinx+sin^3x igg)dsinx\&ln|sinx|-sin^2x+fracsin^4x4+Cendaligned
eginaligned&Đặtspace tanfracx2=t\& Arr egincasesdx=frac2dt1+t^2\sinx=frac2t1+t^2\cosx=frac1-t^21+t^2endcases\& Từspace đóspace, D=intop fracfrac2dt1+t^23.frac1-t^21+t^2+5frac2t1+t^2+3=frac2dt3-3t^2+10+3t+2t^2=intopfrac2dt10t+6\&=frac15intop fracd(5t+3)5t+3=frac15ln|5t+3|+C=frac15ln|5tanfracx2=3|+C\endaligned

Học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại fundacionfernandovillalon.com Education

fundacionfernandovillalon.com Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, fundacionfernandovillalon.com Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.


Tại fundacionfernandovillalon.com, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

fundacionfernandovillalon.com Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của fundacionfernandovillalon.com Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại fundacionfernandovillalon.com Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Xem thêm: Câu Hỏi Kể Tên 3 Nhà Trí Thức Nổi Tiếng Mà Em Biết, Nhà Trí Thức Uyên Bác, Tài Hoa


fundacionfernandovillalon.com Education cam kết đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, fundacionfernandovillalon.com sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại fundacionfernandovillalon.com Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Trên đây là những công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng toán thường gặp. Các em có thể lưu về để có thể hoàn thành bài tập về chủ đề này nhanh chóng và hiệu quả hơn. Chúc các em học tốt và đạt được điểm cao trong các kì thi!