I. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2

Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tính Δ và dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trình ax2+bx+c=0 với hệ số a có chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.

Bạn đang xem: Biện luận bất phương trình

Bài toán: Giải và biện luận phương trình ax2+bx+c=0 

Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

1. Nếu a=0 thì phương trình ax2+bx+c=0 trở thành bx+c=0

Đây chính là dạng phương trình bậc nhất ax+b=0 đã biết cách giải. Để giải và biện luận phương trình ax+b=0, ta xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1. Nếu a≠0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất

*

- Trường hợp 2. Nếu a=0 thì phương trình đã cho trở thành 0x+b=0, lúc này:

+ Nếu b=0 thì phương trình đã cho có tập nghiệm là R;

+ Nếu b≠0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

2. Nếu a≠0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: ∆ = b2 -4ac

Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng của Δ:

Δ

*

Cuối cùng, chúng ta tổng hợp các trường hợp lại thành một kết luận chung.

II. Bài toán giải và biện luận bất phương trình bậc hai theo tham số m

Bài toán 1. Giải và biện luận các bất phương trình:a. X2 + 2x + 6m > 0.

b. 12x2 + 2(m + 3)x + m ≤ 0.

Lời giải:​

a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta có Δ" = 1 - 6m. Xét ba trường hợp:

*

⇒ nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc x > x2.

Kết luận:

*

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng: (x + 1)2 > 1 - 6m.

Khi đó:

*

Vậy, nghiệm của bất phương trình là tập R-1.

*

b. Với f(x) = 12x2 + 2(m + 3)x + m, ta có a = 12 và Δ" = (m - 3)2 ≥ 0.

Khi đó, ta xét hai trường hợp:

*

Xét hai khả năng sau:

- Khả năng 1: Nếu x1 2 ⇔ m

 Khi đó, ta có bảng xét dấu:

*

- Khả năng 2: Nếu x1 > x2 ⇔ m > 3.

Khi đó, ta có bảng xét dấu:

*

Kết luận:

*

Bài toán 2.

Xem thêm: So Sánh Ảnh Tạo Bởi Gương Phẳng Gương Cầu Lồi Gương Cầu Lõm

 Giải và biện luận bất phương trình: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + 3(m - 2) > 0. (1)

Lời giải​

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1, khi đó: (1) ⇔ – 4x - 3 > 0 ⇔ x 2 - 3(m – 2)(m – 1) = -2m2 + 11m – 5.