Một dạng toán tương giao đồ thị hàm số quan trọng mà ta thường gặp là bài toán biến luận số nghiệm của phương trình theo tham số bằng phương pháp đồ thị. Bài toán mà ta thường gặp như sau:


Cho hàm số \ có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

Bạn đang xem: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \ (*) với m là tham số.


Bước 1. Biến đổi phương trình \ về dạng \ với \ là hàm số ta đã vẽ đồ thị và h(m) không chứa x.

Bước 2. Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: \ (Đường thẳng d: \ đi qua điểm \<\left( {0,h\left( m \right)} \right)\> và song song hoặc trùng với trục Ox).

Bước 3. Dựa vào đồ thị (C) để biện luận giá trị của m, số giao điểm và suy ra số nghiệm phương trình.


Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1. Cho hàm số \ có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình \<2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0\> (*)

Giải

a. Dành cho bạn đọc.

Đồ thị (C)

*
*
*

b. Ta có: \<{x^4} – 4{x^2} + 3 = – m\>

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: \.

Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm.

\< \Rightarrow – 1 Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \. Tìm m để phương trình \<2{\left| x \right|^3} – 9{x^2} + 12\left| x \right| = m\> có sáu nghiệm phân biệt.

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \. Tìm m để phương trình \<{\left| {x – 1} \right|^3} – 3\left| {x – 1} \right| – m = 0\> có bốn nghiệm phân biệt.

Xem thêm: Soạn Bài Từ Ngôn Ngữ Chung Đến Lời Nói Cá Nhân Trang 10, Soạn Bài Từ Ngôn Ngữ Chung Đến Lời Nói Cá Nhân

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \. Tìm m để phương trình \<\left| {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + \frac{3}{4}} \right| = m\> có đúng tám nghiệm phân biệt.