Cách tính bất phương trình

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.

∙ Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

∙ Cách giải: Lập bxd của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Bài tập giải bất phương trình lớp 10

Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x2 – 3x + 1

b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36

d) (2x – 3)(x + 5)

Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 5x2 – 3x + 1

– Xét tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 – 20 = –11 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2x2 + 3x + 5

– Xét tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2

f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

 f(x) 2 + 12x + 36

– Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 144 – 144 = 0.

– Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 với ∀x ≠ –6

 f(x) = 0 khi x = –6

d) (2x – 3)(x + 5)

– Xét tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

 f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

 f(x) 2 – 10x + 3)(4x – 5)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

d) f(x) = <(3x2 – x)(3 – x2)>/<4x2 + x – 3>

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

– Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x 3 và mang dấu – nếu 1/3

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = 1/3; 5/4; 3

 f(x) 2 – 4x)(2x2 – x – 1)

– Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x 4/3 và mang dấu – khi 0 2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x 1 và mang dấu – khi –1/2

– Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = –1/2; 0; 1; 4/3

 f(x) 2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

– Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 2 + x – 3 có Δ = –47

– Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = –9/2; –1/2; 1/2

 f(x) 2 – x)(3 – x2)>/<4x2 + x – 3>

– Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x 1/3 và mang dấu – khi 0 2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 2 mang dấu – khi x √3 và mang dấu + khi –√3 2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x 3/4 và mang dấu – khi –1

– Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = ±√3; 0; 1/3

 f(x) Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 – x + 1 2 + x + 4 ≥ 0

d) x2 – x – 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 4x2 – x + 1 2 – x + 1

– Ta có: Δ = -15 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

– Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4

– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3

– Điều kiện xác định: x2 – 4 ≠ 0 và 3x2 + x – 4 ≠ 0

 ⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.

– Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:

– Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

– Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x 2 và mang dấu – khi -2 2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x 1 mang dấu – khi -4/3

– Từ bảng xét dấu ta có:

 (*) 2 – x – 6 ≤ 0

– Xét tam thức f(x) = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = <-2; 3>.

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 (*)

• Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

 Δ’ = b’2 – ac = (2m – 3)2 – (m – 2)(5m – 6)

 = 4m2 – 12m + 9 – 5m2 + 6m + 10m – 12

 = -m2 + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ 2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*)

• Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

 Δ’ = b’ – ac = (m + 3)2 – (3 – m)(m + 2)

 = m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m

 = 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ 2 + 4x + 12 2 + 40x +25 2 – 4x+4 ≥ 0

d) x2 – x – 6 ≤ 0

Lời giải:

b) Tam thức 16x2 +40x + 25 có:

∆’ = 202 – 16.25 = 0 và hệ số a = 16 > 0

Do đó; 16x2 +40x + 25 ≥ 0; ∀ x ∈ R

Suy ra, bất phương trình 16x2 +40x + 25 2 – 4x +4 có ∆’ = (-2)2 – 4.3 = -10 0

Do đó, 3x2 – 4x +4 ≥ 0; ∀ x ∈ R

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = R.

d) Tam thức x2 – x – 6 có hai nghiệm là 3 và – 2

Hệ số a = 1 > 0 do đó, x2 – x – 6 khi và chỉ khi -2 ≤ x ≤ 3

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = < – 2; 3>.

Xem thêm: Hình Tượng Người Phụ Nữ Trong Văn Học Trung Đại, Hình Ảnh Người Phụ Nữ Trong Văn Học Trung Đại

Lời giải:

a) Tập nghiệm T=(-∞;-6/5)∪(2;+∞)

b) Bất phương trình vô nghiệm vì Δ‘ 0

c) Tập nghiệm là R vì 3x2-4x+4 có Δ‘ 0

d) Tập nghiệm T=<-2;3>

Bài 56 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình :

Lời giải:

Bài 55 (trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.