PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11 NÂNG CAO (tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình lượng giác)

XEM HƯỚNG DẪN CHI TIẾT DƯỚI ĐÂY


Các dạng toán phương trình lượng giác, phương pháp giải và bài tập từ cơ bản đến nâng cao - toán lớp 11Sau khi làm quen với các hàm lượng giác thì các dạng bài tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp theo mà các em sẽ học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Cách tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác

Bạn đang xem: Cách tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác

Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a|≤ 1: gọiα là một cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

x =α + k2π, ()

và x =π - α + k2π, ()

- Nếuα thỏa mãn điều kiện


*

và sinα = a thì ta viếtα = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

x = arcsina + k2π, ()

và x =π -arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

x = β0 + k3600, ()

và x =1800- β0+ k3600, ()

2. Phương trình cosx =a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a|≤ 1: gọiα là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

x =±α + k2π, ()

- Nếuα thỏa mãn điều kiện 0≤ α≤ π và cosα = a thì ta viếtα = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0có các nghiệm là:

x =±β0+ k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là:


*

- Nếuα thỏa mãn điều kiện


*

- Nếuα thỏa mãn điều kiện


*

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang28SGK Đại số và Giải tích 11):Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)


*

* Lời giải bài 1 trang28SGK Đại số và Giải tích 11:

a)


b)


c)


d)


* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

°Lời giải:

a)


b)


c)


d)


° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thứcbiến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)


b)


c)


d)


°Lời giải:

a)


+ Với


hoặc


+ Với


hoặc


b)


c)


d)


hoặc


* Lưu ý:Bài toán trên vận dụng công thức:


* Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:

a)

b)

°Lời giải:

a)


hoặc


với


b)


hoặc


với


* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:


* Ví dụ 3:Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

°Lời giải:

a)


b)


c)


hoặc


hoặc


hoặc


hoặc


hoặc


hoặc


với


d)


hoặc


hoặc


* Lưu ý:Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:


° Dạng 3:Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

-Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ:

* Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:

a)

b)

°Lời giải:

a)


+ Với


+ Với


b)


hoặc


+ Với


+ Với


: vô nghiệm.

° Dạng 4:Phương trình bậchai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

+ Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

+ Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2+ bt + c = 0.

* Lưu ý:Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện:-1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a)

b)

°Lời giải:

a)

- Đặt


ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1


+ Với t=1/2:


hoặc


b)


+ Đặt


ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

⇔ t =3/2 hoặc t = -1/2.

+ t =3/2 >1 nên loại

+


* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

- Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,

Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

- Nếu phương trình dạng:asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5:Phương trìnhdạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ Cách 1:Chia hai vế phương trình cho, ta được:

- Nếuthì phương trình vô nghiệm

- Nếuthì đặt

(hoặc)

- Đưa PT về dạng:(hoặc).

◊ Cách 2:Sử dụng công thức sinx và cosx theo;

- Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý:PT: asinx + bcosx = c,(a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2≤ a2+ b2

•Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c,(a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a)

b)

°Lời giải:

a)

+ Ta có:


khi đó:


+ Đặt


ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.


b)


hoặc


hoặc


* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:


° Dạng 6:Phương trình đối xứng với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó:thay vào phương trình ta được:

bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý:


nên điều kiện của t là:

- Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng có thể giải bằng cách tương tự:

Đặt t = sinx - cosx;


* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

°Lời giải:


a)2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx,, khi đó:thay vào phương trình ta được:


⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

hoặc

+ Với


+ Tương tự, với


b)sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0


-Đặtt = sinx + cosx,,khi đó:thay vào phương trình ta được:


+ Với t=1


hoặc


hoặc


+ Với


: loại

III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

*Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11):Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có:


- Vậy với


thì


* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11):Giải các phương trình sau:

a)

b)


c)

d)

° Lời giải bài3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a)


- Kết luận: PT có nghiệm


b)cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệmx = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c)


hoặc


hoặc


hoặc


d)


hoặc


hoặc


hoặc


*Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11):Giải phương trình

° Lời giải bài3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:


+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1


(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n


(không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là


*Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11):Giải phương trình: sin2x – sinx = 0

° Lời giải bài1 trang36 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có:sin2x – sinx = 0


hoặc


- Kết luận: PT có tập nghiệm


* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11):Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +


.sin4x = 0

° Lời giải bài2 trang36SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t2– 3t + 1 = 0


*
Reply
*
5
*
0
*
Chia sẻ

Cách làm xích đu từ lốp xe

Từ lâu, bạn đã nung nấu ý định tự làm cho mình một chiếc xích đu từ lốp xe cũ. Nhưng vì bận rộn công việc, học tập bạn hết lần này đến lần khác ...


Mẹo Hay Cách
Cách lấy âm thanh từ TikTok qua CapCut

Capcut là ứng dụng chỉnh sửa video clip trên điện thoại Android, IOSđược được nhiều người dùng, đặc biệt là các TikToker yêu thích, sử dụng Capcut để ...


Mẹo Hay Cách
Hướng dẫn trồng rau bằng đất tribat

Đất trồng rau Tribat là một loại đất hữu cơ chuyên dụng để trồng rau cực kì hiệu quả. Loại đất này chứa mọi điều kiện, yếu tố để cây sinh ...


Mẹo Hay Hướng dẫn
Cách tẩy vết bút bi trên bàn gỗ

Những vết mực dính trên bàn gỗ thường sẽ rất khó tẩy với nước và chất tẩy rửa thông thường. Để trả lại vẻ đẹp thẩm mỹ cho bàn làm việc, bàn ...


Mẹo Hay Cách
Khi nào hết giãn cách xã hội ở đồng tháp

Theo đó, UBND tỉnh Đồng Tháp yêu cầu mở rộng phạm vi cách ly xã hội đối với thành phố Cao Lãnh, thành phố Hồng Ngự và các huyện: Tháp Mười, Tam Nông, ...


Mẹo Hay Cách
Hướng dẫn điểm x khoản 1 Điều 51

Các tình tiết giảm nhẹ trách nhiệm hình sự là những tình tiết được quy định trong BLHS hoặc được Tòa án xác định có vai trò làm giảm nhẹ đi trách ...


Mẹo Hay Hướng dẫn
Cách so sánh cấu hình máy tính

Chắc hẳn các bạn thường quan tâm nhiều đến cấu hình máy tính khi chọn mua một chiếc laptop. Tùy vào nhu cầu sử dụng của mỗi người mà các nhà sản xuất ...


Mẹo Hay Cách Công Nghệ Máy tính Máy So Sánh So sánh
Cách nấu bột sắn dây với đỗ xanh

Home/Quán Ngon/Món chè sắn dây đậu xanh ngọt mát giải nhiệt ngày hè Món chè sắn dây đậu xanh ngọt mát có tác dụng rất tốt trong việc thanh nhiệt, làm mát ...


Mẹo Hay Cách Món Ngon Nấu
Cách đăng ký uống Methadone

Hướng dẫn các cơ sở điều trị Methadone quy trình triển khai thí điểm cấp thuốc Methadone nhiều ngày cho người bệnh điều trị nghiện các chất dạng thuốc ...


Mẹo Hay Cách Cryto Eth
Cách làm bánh khoai lang cốt dừa

Bánh khoai lang tẩm dừa vô cùng thơm ngon bùi bùi ngậy ngậy. Bánh còn nổi tiếng bởi sựđơn giản trong cách làm, nguyên liệu cũng rất dễ kiếm. Hãy học cách ...


Mẹo Hay Cách Món Ngon Bánh
Cách test nhanh HIV

Việt Nam là 1 trong 6 nước có tỉ lệ bao phủ vắc-xin Covid cao nhất trên thế giới, vì vậy nhiều người có thể dễ dàng vượt qua và hồi phục sức khỏe hoàn ...


Mẹo Hay Cách
Cách bảo vệ anh trai của nữ chính raw

Tên KhácThe Way to Keep the Older Brother of the Heroine Safe, Phương pháp bảo vệ anh trai của nữ chínhHọa sĩThể loại Để trải nghiệm phiên bản Facebook mới nhất, ...


Mẹo Hay Cách Giới Tính Trai
Hướng dẫn thanh toán trực tuyến vietinbank

Điểm nổi bật Hỗ trợ nhiều dịch vụ thẻ đầy tiện ích Thanh toán hóa đơn mua sắm, hóa đơn các dịch vụ tiện ích nhanh chóng Hỗ trợ tự động giao dịch ...


Mẹo Hay Hướng dẫn
Cách chuyển dữ liệu htkk sang máy khác

Phần mềm HTKK được Tổng cục Thuế cung cấp miễn phí tới người dân nhằm Kê khai Thuế hiệu quả hơn. Trên một số máy tính có thể gặp lỗi không gõ ...


Mẹo Hay Cách Công Nghệ Máy
Sử dụng xe ô tô đúng cách

Kinh nghiệm sử dụng xe ô tô mới mua về chủ nhân nào cũng nhất định phải biết để có thể đảm bảo tuổi thọ cũng như động cơ “xịn sò” cho xế dù ...


Mẹo Hay Cách
Cách lót sàn xe ô tô

Lắp đặt thảm lót sàn ô tô 6D có khó không ? là một trong những câu hỏi mà rất nhiều khách hàng thắc mắc và băn khoăn trước khi quyết định mua thảm lót ...


Mẹo Hay Cách
Cách bảo quản rau ngoài tủ lạnh

Nếu biết những mẹo vặt hữu ích sau đây, dù không có tủ lạnh, nhà mình cũng có thể giữ giữ cho rau củ luôn tươi xanh và bảo quản được lâu hơn đấy.1. ...


Mẹo Hay Cách
Cách sử dụng nồi ủ trân châu

Trân châu là một loại topping rất được yêu thích, thường được bổ sung vào các món đồ uống như trà sữa, sữa tươi trân châu đường đen, chè, kèm ...


Mẹo Hay Cách
Cách sử dụng công cụ pen trong ai

Mời bạn đánh giá 5* tại đây Trong bài chia sẻ hôm nay Tuyettac sẽ hướng dẫn các bạn cách sử dụng công cụ Pen Tool và các công cụ hỗ trợ trong quá trình ...


Mẹo Hay Cách
Cách sử dụng máy lọc không khí Panasonic Nhật bãi

Trang chủ / Máy lọc khí, bù ẩm / panasonic / máy lọc không khí nội địa nhật Panasonic F-VXD40 thông số kỹ thuật: Loại bỏ ...

Xem thêm: Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 1 Trang 90 Tập 1 Câu 1, 2, 3, 4, Người Ta Mở Vòi Nước Chảy Vào Bể


Mẹo Hay Cách Khỏe Đẹp Son Công Nghệ Máy
Quảng Cáo

Tương Tự


Cách chuyển dữ liệu htkk sang máy khác 1 tuần trước . Bởi phamthuyet_hn
Sử dụng xe ô tô đúng cách 1 tuần trước . Bởi trannhohit
Cách lót sàn xe ô tô 1 tuần trước . Bởi Drchinh_1
Cách bảo quản rau ngoài tủ lạnh 1 tuần trước . Bởi phamdunghcm
Cách sử dụng nồi ủ trân châu 1 tuần trước . Bởi Kinh_anh1

Toplist được quan tâm


#1
Top 10 de thi cuối kì 2 lớp 6 môn văn 2022 6 ngày trước
#2
Top 9 tìm bạn gái ly dị có số điện thoại 2022 6 ngày trước
#3
Top 9 maou-sama retry season 2 khi nào ra mắt 2022 4 ngày trước
#4
Top 9 thần điêu đại hiệp 2022 2022 6 ngày trước
#5
Top 10 câu hỏi trắc nghiệm bài ai ngoan sẽ được thưởng 2022 4 ngày trước
#6
Top 9 những câu nói hay về trường mầm non hạnh phúc 2022 6 ngày trước
#7
Top 10 game quay hũ tặng code khi đăng ký 2022 2022 2 ngày trước
#8
Top 9 tóm tắt cuộc đời của chúa giêsu 2022 6 ngày trước
#9
Top 10 số điện thoại xe phương trang bình thuận 2022 5 ngày trước

Xem Nhiều


Tính linh hoạt của người Việt Nam thể hiện qua 4 ngày trước . Bởi mrDanghn
Cho dãy các kim loại Ba K Cu, Fe số kim loại trong dãy phản ứng mạnh với H2O ở điều kiện thường là 5 ngày trước . Bởi Misstung_vt
Toluen tác dụng với Br2 đun nóng theo tỉ lệ mol 1 1 thu được chất hữu cơ X tên gọi của X là 1 ngày trước . Bởi Ki_tronghn
Đốt cháy hoàn toàn m gam ancol đơn chức A được 6 6 gam co2co2 và 3 6 gam h2oh2o giá trị m là 5 ngày trước . Bởi mitnam4
Nếu giá của một mặt hàng bằng với giá cân bằng thị 5 ngày trước . Bởi Kinh_dungkute
Giai đoạn từ năm 1888 đến năm 1896, nghĩa quân hương khê tập trung thực hiện nhiệm vụ chủ yếu gì? 5 ngày trước . Bởi mrduong2020
Quá trình hấp thu chất dinh dưỡng ở ruột non 5 ngày trước . Bởi Drdunghcm
Trọng cơ cấu sản lượng điện nước ta hiện nay chiếm tỉ trọng cao nhất là 4 ngày trước . Bởi vonganbmt
Soạn toán 6 kết nối tri thức 5 ngày trước . Bởi vothuyet_xinh
Thần điêu đại hiệp 2006 - tập 1 5 ngày trước . Bởi mitchinh_2

Chủ đề


Mẹo Hay Hỏi Đáp Là gì Công Nghệ Nghĩa của từ Học Tốt Top List Bài Tập Bao nhiêu Khỏe Đẹp Ngôn ngữ Sản phẩm tốt Toplist Tiếng anh Xây Đựng Máy tính So Sánh Tại sao Món Ngon Hướng dẫn Ở đâu Dịch Facebook So sánh Thế nào Vì sao Nghĩa là gì Bao lâu Màn hình Khoa Học Có nên Đánh giá Bài tập Phương trình Đại học

Token Data


Chúng tôi


Điều khoản


Trợ giúp


Mạng xã hội


Bản quyền © 2021 Hàng Hiệu Inc.