I. Sơ đồ khảo sát hàm số (tổng quát)
1. Tập xác định.
Bạn đang xem: Cách vẽ bảng biến thiên lớp 12
Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên.
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y'
+ Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số y
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
3. Đồ thị.
Dựa vào bảng biến thiên,các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. Có thể khảo sát thêm các yếu tố sau để có đồ thị chính xác hơn:
•Tương giao với các trục.
• Tính đối xứng (nếu có).
• Điểm đặc biệt (nếu cần).
•Điểm uốn.
Định nghĩa :Điểm U ((x_0;fleft(x_0 ight))) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số (y=fleft(x ight)) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm (x_0) sao cho trên một trong hai khoảng ((a;x_0)) và ((x_0;b)) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Mệnh đề (Cách tìm điểm uốn):Nếu hàm số (y=fleft(x ight)) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa (x_0), (f"left(x_0 ight)) và (f"left(x ight)) đổi dấu khi qua điểm (x_0) thì U ((x_0;fleft(x_0 ight))) là một điểm uốn của đồ thị hàm số (y=fleft(x ight)).
II. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
III. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Cho hàm số(y=x^3+3x^2-4)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình(left(x+2 ight)^2=fracmleft)
Bài giải :
a. Tập xác định : D = R
Sự biến thiên :
* Chiều biến thiên : Ta có(y"=3x^2+6x)
(y"=0Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0\x=-2endarray ight.)
(y"
và (y">0Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx0endarray ight.)
Suy ra hàm số đồng biên trên mỗi khoảng(left(-infty;-2 ight))và(left(0;+infty ight)); Hàm nghịch biến trên(left(-2;0 ight))
* Cực trị : Hàm số đạt cực đạitại(x=-2,y_CD=0)
đạt cực tiểu tại(x=0,y_CT=-4)
* Giới hạn :(limlimits_x ightarrow+inftyy=+infty;limlimits_x ightarrow-inftyy=-infty)
* Bảng biến thiên :
x y' y - 8 -2 0 + 8 + - + 0 0 0 -4 - 8 + 8
* Đồ thị : Đồ thị (C) của hàm số cắt trục hoành tại A(1;0)
b.
Xem thêm: Download Đề Thi Tiếng Anh Học Kì 2 Lớp 4 Năm 2021, Đề Thi Học Kì 2 Tiếng Anh Lớp 4 Mới Nhất
Ta có(left(x+2
ight)^2=fracmleftLeftrightarrowleft|x-1
ight|left(x^2+4x+4
ight)=m,x
e1)
Xét hàm số (fleft(x ight)=left|x-1 ight|left(x^2+4x+4 ight)=egincasesx^3+3x^2-4;x>1\-left(x^3+3x^2-4 ight);x
Suy ra đồ thị hàm số(y=fleft(x ight))gồm phần đồ thị (C) với x > 1 và đối xứng phần đồ thị (C) với x 4 phương trình có 2 nghiệm
Ví dụ 2 : Cho hàm số(y=x^4-2x^2-1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Tìm m để phương trình(left|x^4-2x^2-1 ight|=2m)có 6 nghiệm phân biệt
Bài giải :
a.Tập xác định : D = R
Ta có(y"=4xleft(x^2-1 ight)Rightarrow y"=0Leftrightarrowleft<eginarraynghiemptx=0Rightarrow y=-1\x=pm1Rightarrow y=-2endarray ight.)
Giới hạn :(limlimits_x ightarrowpminftyy=+infty)
Bảng biến thiên
Hàm đồng biến trên(left(-1;0 ight))và(left(1;+infty ight)); nghịch biến trên(left(-infty;-1 ight))và(left(0;1 ight))
Hàm số đạt cực đại tại(x=0;y_CD=-1)
Hàm số đạt cực tiểu tại(x=pm1;y_ct=-2)
Đồ thị :
Do hàm số(y=x^ -2x^2-1)là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng
b. Số nghiệm củaphương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị(egincasesleft(C" ight):y=left|x^4-2x^2-1 ight|\Delta:y=2m;Deltaackslashackslash Oxendcases)
Ta có đồ thị :
-->