I. Sơ đồ khảo sát hàm số (tổng quát)

1. Tập xác định.

Bạn đang xem: Cách vẽ bảng biến thiên lớp 12

Tìm tập xác định của hàm số

2. Sự biến thiên.

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm y'

+ Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số y

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị.

Dựa vào bảng biến thiên,các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. Có thể khảo sát thêm các yếu tố sau để có đồ thị chính xác hơn:

•Tương giao với các trục.

• Tính đối xứng (nếu có).

• Điểm đặc biệt (nếu cần).

•Điểm uốn.

Định nghĩa :Điểm U (\(x_0;f\left(x_0\right)\)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm \(x_0\) sao cho trên một trong hai khoảng (\(a;x_0\)) và (\(x_0;b\)) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

Mệnh đề (Cách tìm điểm uốn):Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa \(x_0\), \(f"\left(x_0\right)\) và \(f"\left(x\right)\) đổi dấu khi qua điểm \(x_0\) thì U (\(x_0;f\left(x_0\right)\)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\).

II. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát

*

*

*

*

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho hàm số\(y=x^3+3x^2-4\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình\(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-1\right|}\)

Bài giải :

a. Tập xác định : D = R

Sự biến thiên :

* Chiều biến thiên : Ta có\(y"=3x^2+6x\)

\(y"=0\Leftrightarrow\left<\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=-2\end{array}\right.\)

\(y"

và \(y">0\Leftrightarrow\left<\begin{array}{nghiempt}x0\end{array}\right.\)

Suy ra hàm số đồng biên trên mỗi khoảng\(\left(-\infty;-2\right)\)và\(\left(0;+\infty\right)\); Hàm nghịch biến trên\(\left(-2;0\right)\)

* Cực trị : Hàm số đạt cực đạitại\(x=-2,y_{CD}=0\)

đạt cực tiểu tại\(x=0,y_{CT}=-4\)

* Giới hạn :\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=-\infty\)

* Bảng biến thiên :

x y' y - 8 -2 0 + 8 + - + 0 0 0 -4 - 8 + 8

*

* Đồ thị : Đồ thị (C) của hàm số cắt trục hoành tại A(1;0)

b.

Xem thêm: Download Đề Thi Tiếng Anh Học Kì 2 Lớp 4 Năm 2021, Đề Thi Học Kì 2 Tiếng Anh Lớp 4 Mới Nhất

Ta có\(\left(x+2\right)^2=\frac{m}{\left|x-\right|}\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=m,x\ne1\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=\left|x-1\right|\left(x^2+4x+4\right)=\begin{cases}x^3+3x^2-4;x>1\\-\left(x^3+3x^2-4\right);x

Suy ra đồ thị hàm số\(y=f\left(x\right)\)gồm phần đồ thị (C) với x > 1 và đối xứng phần đồ thị (C) với x 4 phương trình có 2 nghiệm

*

Ví dụ 2 : Cho hàm số\(y=x^4-2x^2-1\)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Tìm m để phương trình\(\left|x^4-2x^2-1\right|=2m\)có 6 nghiệm phân biệt

Bài giải :

a.Tập xác định : D = R

Ta có\(y"=4x\left(x^2-1\right)\Rightarrow y"=0\Leftrightarrow\left<\begin{array}{nghiempt}x=0\Rightarrow y=-1\\x=\pm1\Rightarrow y=-2\end{array}\right.\)

Giới hạn :\(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=+\infty\)

Bảng biến thiên

*

Hàm đồng biến trên\(\left(-1;0\right)\)và\(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên\(\left(-\infty;-1\right)\)và\(\left(0;1\right)\)

Hàm số đạt cực đại tại\(x=0;y_{CD}=-1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại\(x=\pm1;y_{ct}=-2\)

Đồ thị :

Do hàm số\(y=x^{ }-2x^2-1\)là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng

*

b. Số nghiệm củaphương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị\(\begin{cases}\left(C"\right):y=\left|x^4-2x^2-1\right|\\\Delta:y=2m;\Delta\backslash\backslash Ox\end{cases}\)

Ta có đồ thị :