Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10 cực hay Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10 cực hay 


A. Phương pháp giải

* Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định :

- Điểm A(x0; y0) thuộc d

- Một vectơ pháp tuyếnn→( a; b) của d

Khi đó phương trình tổng quát của d là: a(x-x0) + b(y-y0) = 0

* Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c) .

Bạn đang xem: Cách viết phương trình tổng quát

*

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ba đường thẳng (a):3x - 2y + 5 = 0; (b): 2x + 4y - 7 = 0 và

(c): 3x + 4y - 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là:


A.24x + 32y - 53 = 0. B.23x + 32y + 53 = 0 C.24x - 33y + 12 = 0. D.Đáp án khác

Lời giải

Giao điểm của (a) và ( b) nếu có là nghiệm hệ phương trình :

*
⇒ A(;)

Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 (c≠-1)

Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3.+ 4.+ c = 0 ⇔ c=

Vậy d: 3x + 4y += 0 ⇔ d3= 24x + 32y - 53 = 0

Chọn A.

Ví dụ 2:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơn→(1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

A.∆: x + 2y + 5 = 0 B.∆: x + 2y – 5 = 0 C.∆: 2x + y + 1 = 0 D.Đáp án khác

Lời giải

Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPTn→(1; 2)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1(x - 1) + 2(y + 3) = 0

Hay x + 2y + 5 = 0

Chọn A.

Ví dụ 3:Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình

A.x - 2y - 3 = 0 B.x - 2y + 5 = 0 C.x - 2y +3 = 0 D.x + 2y + 1 = 0

Lời giải

Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x - 2y + c = 0 (c ≠ 1)

Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 - 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3

Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0

Chọn A

Ví dụ 4:Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình

A.3x - 4y + 8 = 0 B.3x – 4y - 11 = 0 C.-6x + 8y + 11 = 0 D.8x + 6y + 13 = 0

Lời giải

Ta cóBC→= (-6; 8)

Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC

⇒ AA" nhận VTPTn→=BC→= (-6; 8) và qua A(1; -2)

Suy ra phương trình AA’: -6(x - 1) + 8(y + 2) = 0

Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0.

Chọn B

Ví dụ 5.Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; -3) và có vectơ pháp tuyếnn→( 1; 5) có phương trình tổng quát là:

A.d: x + 5y + 2 = 0 B.d: x- 5y + 2 = 0 C.x + 5y + 14 = 0 D.d: x - 5y + 7 = 0

Lời giải

Ta có: đường thẳng d: qua A( 1; -3) và VTPTn→( 1; 5)

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

1( x - 1) + 5.(y + 3) = 0 hay x + 5y + 14 = 0

ChọnC.

Ví dụ 6.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1); B( 4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

A.7x + 3y – 11 = 0 B.-3x + 7y + 5 = 0 C.3x + 7y + 2 = 0 D.7x + 3y + 15 = 0

Lời giải

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.

Đường thẳng AH : qua A( 2;-1) và Nhận VTPTBC→( 7; 3)

⇒ Phương trình đường cao AH :

7( x - 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y – 11 = 0

Chọn A.

Ví dụ 7 :Cho tam giác ABC cân tại A có A(1 ; -2). Gọi M là trung điểm của BC và

M( -2 ; 1). Lập phương trình đường thẳng BC ?

A.x + y - 3 = 0 B.2x - y + 6 = 0 C.x - y + 3 = 0 D.x + y + 1 = 0

Lời giải

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường thẳng BC nhậnAM→( -3 ; 3) = -3(1 ; -1) làm VTPT

+ Đường thẳng BC : qua M(-2; 1) và VTPTn→( 1; -1)

⇒ Phương trình đường thẳng BC :

1(x + 2) - 1(y - 1) = 0 hay x - y + 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8 :Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y - 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y - 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x - y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?

A.x - 3y + 1 = 0 B.x + 4y - 5 = 0 C.x + 2y - 3 =0 D.2x - y + 1 = 0

Lời giải

+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :

*
⇒ P( 1 ; 1)

+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :

*
⇒ B( 0 ;2)

Tương tự ta tìm được tọa độ C(-

*
;
*
)

+ Đường thẳng AP :

*

⇒ Phương trình đường thẳng AP :

1(x - 1) + 2(y - 1) = 0 ⇔ x + 2y - 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 9.Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y - 9 = 0 là:

A.3x + 5y - 7 = 0 B.3x + 5y = 0 C.3x - 5y = 0 D.3x - 5y + 9 = 0

Lời giải

Do đường thẳng d// ∆ nên đường thẳng d có dạng : 3x + 5y + c = 0 ( c ≠ - 9)

Do điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng d nên :

3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0

Vậy phương trình đường thẳng d: 3x + 5y = 0

Chọn B.

Ví dụ 10:Cho tam giác ABC có B(-2; -4). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x - 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A.2x + 3y - 1 = 0 B.2x - 3y - 8 = 0 C.2x + 3y - 6 = 0 D.2x - 3y + 1 = 0

Lời giải

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ IJ// BC.

⇒ Đường thẳng BC có dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 1)

Mà điểm B thuộc BC nên: 2.(-2) - 3(-4) + c = 0 ⇔ c = -8

⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x - 3y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11:Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhậnn→= (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A.x - 2y + 1 = 0. B.2x + y = 0 C.x - 2y - 5 = 0 D.x - 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhậnn→= (1; -2) làm VTPT

=>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x - 1) - 2(y + 2) = 0 hay x - 2y – 5 = 0

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 2) và song song với trục Ox.

Xem thêm: Ý Nghĩa Tên Quang Trong Tiếng Anh Hay Cho Bé Trai Và Bé Gái, Gợi Ý Các Tên Quang Hay Cho Bé Trai Miễn Chê

A. Y + 2 = 0 B. X + 1 = 0 C. X - 1 = 0 D. Y - 2 = 0

Câu 2:Cho đường thẳng (a) : 2x+ y- 3=0 và (b) : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecton→( 2 ; -3) làm VTPT ?

A. 2x - 3y + 6 = 0 B. -2x - 3y + 6 = 0 C. 2x - 3y + 1 = 0 D. 2x + 3y - 1 =0

Câu 3:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1), B(4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B

A. 3x - 5y + 1 = 0 B. 3x + 5y - 20 = 0 C. 3x + 5y - 12 = 0 D. 5x - 3y -5 = 0

Câu 4:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-1) ; B( 4;5) và C( -3; 2). Tìm trực tâm tam giác ABC?

A. (; -) B. (;) C. (

*
;) D. (;
*
)

Câu 5:Cho tam giác ABC có A( 2;-1) ; B( 4; 5) và C( -3; 2). Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là:

A. 3x - 7y + 11 = 0. B. 7x + 3y - 11 = 0 C. 3x - 7y - 13 = 0. D. 7x + 3y + 13 = 0.

Câu 6:Cho đường thẳng (d): 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 1) và song song với (d) có phương trình:

A. 3x - 2y - 7 = 0. B. 2x + 3y - 9 = 0. C. 2x - 3y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0

Câu 7:Cho tam giác ABC có B(2; -3). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A. X + y + 2 = 0 B. X - y - 5 = 0 C. X - y + 6 = 0 D. X - y = 0

Câu 8:Cho tam giác ABC cân tại A có A(3 ; 2). Gọi M là trung điểm của BC và M( -2 ; -4). Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. 6x - 5y + 13 = 0 B. 5x - 6y + 6 = 0 C. 5x + 6y + 34 = 0 D. 5x + 6y + 1 = 0

Câu 9:Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1) và nhận vecton→( -2 ; 1) làm VTPT ?