Các dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số chọn lọc, có đáp án

Với Các dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tính đơn điệu của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Cách xét tính đơn điệu của hàm số

*

Cách xét tính đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 ⇒ f(x1) 2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f"(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f"(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f"(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f"(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f"(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Nếu f"(x) 4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm f"(x) và tìm các điểm xo sao cho f"(xo) = 0 hoặc f"(xo) không xác định.

Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y" = 3x2 - 12x + 9

y" = 0 ⇔

*

Bảng biến thiên:

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = <0; 2>

Ta có : y" =

*
y" = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

*

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R1.

Tìm y" =

*
> 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

*

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)

⇒ f"(x)=3ax2+2bx+c

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi

*

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

*

2. Hàm phân thức bậc nhất:

*

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y">0 hay ad-bc>0

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y">0 hay ad-bcVí dụ 1: Cho hàm số

*
đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

+ Tập xác định: D=R

+ Ta có: y"=x2+2(m+1)x-(m+1)

+ Δ"=(m+1)2+4(m+1)=m2+6m+5

+ Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì

*

Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số

*
. Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

+ Tập xác định: D=R

+ Đạo hàm y"≠(m2-m) x2+4mx+3

+ Hàm số luôn đồng biến trên R

*
y"≥0 ∀ x∈R

Xét m2-m=0 ⇒

*

Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y"=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xem thêm: Doraemon Miễn Phí - Play Doraemon Games Online

Với m=1 phương trình trở thành y=2x2+3x-1;y"=4x+3

Khi đó y">0 4x+3>0 x2-m≠0

*

Khi đó

*

*

Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m2-7m+8

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định y">0 ∀x∈D

-m2-7m+8>0 -8m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥

*

m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤

*

Một số hàm số thường gặp

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

⇒ f"(x) = 3ax2 + 2bx + c

Với a > 0 và f"(x) có hai nghiệm phân biệt x1 2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α 2

Với a 1 2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α 2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x1 hoặc α ≥ x2

Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y"= (ad - bc)/(cx + d)2

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc 3/3 - mx2+(1 - 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y" = x2 - 2mx + 1 - 2m

Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y" ≥ 0

⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x2 -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

⇔ ∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x2 + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số f(x) = (x2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)

f"(x) = (x2 + 2x - 1)/(x + 1)2 >0 với mọi x

*
(1;+∞)

Ta có bảng biến thiên:

*

Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x - 1)/(x - m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Hướng dẫn

TXĐ: D=Rm.

Ta có y"= (-2m + 1)/(x - m)2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y" 3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3 ; 0)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y"= 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:

y" ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu "" = "" xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))