Ở lớp 7, ta đã học căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x² = a.

Bạn đang xem: Căn a lớn hơn căn b

Tức là, ví dụ căn bậc hai của 64 là √64 và −√64 hay là ±8.

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0.

Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau: 

Số âm không có căn bậc hai.


Các dạng bài tập Căn bậc hai Dạng 1: Tính căn bậc hai số học và căn bậc hai Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc haiBài tập nâng cao về Căn bậc hai

1.Định nghĩa Căn bậc hai số học

Với số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương.

Để khai phương một số, ta có thể dùng máy tính bỏ túi.

Ví dụ: Căn bậc hai số học của 16 là √16 = 4. 

Căn bậc hai số học của 6 là √6.

Chú ý: Với a ≥ 0, ta có:

Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x² = a.

Nếu x ≥ 0 và x² = a thì x = √a.

Ta có thể viết như sau: 

*
*

*
*

Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121

=> căn bậc hai của 121 là ±11

b) 1,21: căn bậc hai số học của 1,21 là 1,1 vì 1,1 ≥ 0 và 1,1² = 1,21.

=> căn bậc hai của 1,21 là ±1,1


*
*

2.So sánh các căn bậc hai số học

Nhắc lại với các em là:

Nếu a Định lí:

Với hai số a và b không âm, ta có: a 15 nên √16 > √15. Vậy 4 > √15.

b) √11 và 3

Vì 11 > 9 nên √11 > √9. Vậy √11 > 3.

*
*

Tìm x không âm, biết:

a) √x > 2

Vì 2 = √4, nên √x > √4.

Vì x ≥ 0 nên √x > √4 ⇔ x > 4.

Vậy x > 4.

b) √x Các dạng bài tập Căn bậc hai 

Dạng 1: Tính căn bậc hai số học và căn bậc hai 

Bài 1 SGK Toán 9 tập 1

Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

a) 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121

=> căn bậc hai của 121 là ±11

b) 144 : căn bậc hai số học của 144 là 12 vì 12 ≥ 0 và 12² = 144

=> căn bậc hai của 144 là ±12

c) 169 : căn bậc hai số học của 169 là 13 vì 13 ≥ 0 và 13² = 169

=> căn bậc hai của 169 là ± 13

d) 225 : căn bậc hai số học của 225 là 15 vì 15 ≥ 0 và 15² = 225

=> căn bậc hai của 225 là ± 15

e) 256 : căn bậc hai số học của 256 là 16 

=> căn bậc hai của 256 là ± 16

f) 324 : căn bậc hai số học của 324 là 18

=> căn bậc hai của 256 là ± 18

g) 361 : căn bậc hai số học của 361 là 19 

=> căn bậc hai của 361 là ± 19

h) 400 : căn bậc hai số học của 400 là 20

=> căn bậc hai của 400 là ± 20.

Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học 

Bài 2 SGK Toán 9 tập 1

So sánh:

a) 2 và √3 

Đầu tiên ta viết 2 = √4 và so sánh √4 với √3. 

Vì 4 > 3 nên √4 > √3. Vậy 2 > √3.

b) 6 và √41

Ta có: 6 = √36. Vì 36 47 nên √49 > √47.

Vậy 7 > √47

Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai

Giải phương trình x² = a (với a ≥ 0).

Chú ý: Nếu a Hướng dẫn:

Nghiệm của phương trình x² = a (với a ≥ 0) là các căn bậc hai của a, tức là 

x² = a (với a ≥ 0) ⇔ x = √a hoặc −√a.

Bài 3 SGK Toán 9 tập 1

Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3):

a) x² = 2 

⇔ x = √2 hoặc −√2

⇔ x = 1,414 hoặc − 1,414

b) x² = 3

⇔ x = ±√3 = ±1,732

c) x² = 3,5

⇔ x = ±√3,5 = ±1,87

d) x² = 4,12 

⇔ x = ±√4,12 = ±2.03

Bài 4. SGK Toán 9 tập 1

Tìm số x không âm, biết:

a) √x = 15

⇒ x = 15² = 225 căn bậc hai số học của 225 bằng 15

b) 2√x = 14

⇔ √x = 7 chia cả hai vế cho 2

⇔ x = 7² = 49 căn bậc hai số học của 49 là 7

c) √x kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x

d) √2x kết hợp điều kiện x ≥ 0 và x

Bài 5. SGK Toán 9 tập 1
*
*

Đố: Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m và chiều dài 14 m.

Giải:

Trước tiên ta tính diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng = 14 × 3,5 = 49 m².

Gọi cạnh của hình vuông cần tìm là x, với x > 0.

Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh = x² = diện tích hình chữ nhật nên

x > 0 nên x là căn bậc hai số học của 49 tức là x = √49 = 7.

Vậy cạnh của hình vuông cần tìm là 7m.

Tóm tắt bài học: Căn bậc hai – Căn bậc hai số học

Kết thúc bài hôm nay, chúng ta cần nhớ điều gì về căn bậc hai và căn bậc hai số học?

#1. Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau: 

Số 0 có đúng 1 căn bậc hai là 0.

Số âm không có căn bậc hai.

Số x là căn bậc hai số học của a tức là

x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = (√a)² = a.

Cuối cùng, ta phải nhớ định lí sau về căn bậc hai số học:


*
*

Bài tập nâng cao về Căn bậc hai

Bài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉ

Để để chứng minh một số a là số vô tỉ, ta thường dùng phương pháp phản chứng: Giả sử a là số hữu tỉ thì dẫn đến mâu thuẫn. 

Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ.

Nhưng để dễ hiểu phương pháp làm, ta sẽ chứng minh √5 là số vô tỉ.

Giải:

Giả sử √5 là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:

√5 = m/n với m, n ∈ Z, n ≠ 0, ƯC (m, n) = 1. (m/n là phân số tối giản)

⇒ (√5)² = m²/n² hay 5n² = m² (1)

⇒ m² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5.

Đặt m = 5k (k ∈ Z) ta có : m² = 25k² (2)

Từ (1) và (2) ta có: 5n² = 25k²

⇒ n² = 5k²

suy ra n² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5.

Xem thêm: Nằm Mơ Thấy Ác Mộng - Ngủ Hay Là Bị Làm Sao, Bệnh Gì

m và n cùng chia hết cho 5 nên m/n không phải là tối giản, như vậy trái giải thiết ƯC(m, n) = 1.