( n – k) + k = n
Số hạng tổng quát của nhị thức là:Tk+1 = Cnk an-k bk ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b)n )
Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau
Một số kiến thức liên quan
Công thức khai triển nhị thức newton:
Công thức số tổ hợp
Tính chất lũy thừa
Cách giải bài toán tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton
Bước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát:
Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau
Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m
Từ đó tìm: k = ( m – np) / ( p – q)
Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: Cnk an-k bk với giá trị k đã tìm được ở trên
Nếu k không gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển
P(x) = ( a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n
Ta làm như sau:
Viết P (x) = ( a + bxp + cxq)n
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton
Ta làm như sau:
Tính hệ số ak theo k và nGiải bất phương trình sau với ẩn số k
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển ( 2 – 3x)25
Giải
Số hạng thứ 21 trong khai triển là:
C2025. 25 ( -3x)20 = 25. 320. C2025. X20
Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong khai triển (3x2 –y)10
Giải:
Trong khai triển (3x2 –y)10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -35 .C510
Ví dụ 3: Tìm hệ số của x3 , (x >0) trong khai triển sau:
Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là: Tk + 1 = Ck6 .x6-k. 2k. X(-k/2)
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 – k – ( k /2) = 3 => k = 3
Khi đó hệ số của x3 là: C36.23 = 160
Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm hệ số xk trong khai triển nhị thức newton
Phương pháp chung:
Sử dụng công thức khai triển nhị thức newtonTìm số hạng có chứa xk và tìm hệ số tương ứngVí dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( 2 + x)5
Giải:
Ta có
Cho k = 3 ta được hệ số của x3 là: C35.
Bạn đang xem: Công thức khai triển nhị thức newton
Xem thêm: Nghĩa Của Từ Encumbrance Là Gì Diễn Giải Encumbrance Có Nghĩa Là Gì
25-3 = 40
Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải
Sử dụng khai triển:(a + b)n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bn
Suy ra điều phải chứng minh
Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
Phương pháp giải các bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
Chọ một khai triển ( a+ x)n phù hợp, ở đây a là hằng sốSử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phânDựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thểBài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợp
Ví dụ: Giải bất phương trình sau: ( A22x – A2x 3x + 10
Giải:
Điều kiện: x phải là một số nguyên dương và x > = 3
Ta có bất phương trình đã cho tương đương với:
Vì x là nghiệm nguyên dương và x > = 3 nên x thuộc 3 ; 4
BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài tập 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau:
Giải:
Công thức khai triển của biểu thức là:
Để số hạng chứa x5 vậy k = 2 và n = 3
Vậy hệ số của x5 là C211 + C37 = 90
Bài tập 2: Tính B = 2n C0n – 2n-1 C1n + 2n-2 C2n + … + (-1)k 2n-k Ckn + … + (-1)2 Cnn
Giải:
Bài tập 3: Tính C = C610 + C710 + C810 + C910 + C1010
Giải:
Bài tập 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
x( 1- 2x)5 + x2 (1 + 3x)10
Bài tập 5: Với n là số nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của ( x2 + 1)n ( x + 2)n. Tìm n để a3n – 3 = 26n
Bài tập 6: Tính tổng S = C02013 + 3 C12013 + 32 C22013 + … + 32013 C20132013
Bài tập 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển biểu thức:
Bài tập 8: Tìm ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển ( 1 + 2x)10
Bài tập 9: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P (x) = ( x+1)6 + ( x+1)7 + … + ( x+1)12