I.Tóm tắt lý thuyết:1. Điều kiện để hàm số đồng biến ,nghịch biến:Điều kiện cần và đủ để y = f(x) đồng biến /(a,b) ↔ f’ (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a,b) đồng thời f’ (x) =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a,b).Điều kiện cần và đủ để y = f(x) nghịch biến /(a,b) ↔ f’ (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a,b) đồng thời f’ (x) =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a,b).2.Kiến thức bổ trợ:Tam thức bậc hai f(x)= ax$^2$ +bx +c (a ≠ 0)Điều kiện để $f(x) \ge 0\,\,(\forall x \in R)\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a > 0\end{array} \right.$Điều kiện để $f(x) \le 0\,\,(\forall x \in R)\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a II.Bài tập:Ví dụ 1: Cho hàm số $y = {x^3} - 3(2m + 1){x^2} + (12m + 5)x + 2$Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; + ∞).

Bạn đang xem: Điều kiện để hàm số đồng biến


<2; +∞) ↔ 0 ≤ y’ ∀x ∈ (2; +∞) ↔ 12m(x - 1) ≤ 3x$^2$ - 6x + 5 ∀x ∈ (2; +∞)$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{12(x - 1)}} \ge m\,$ ∀x ∈ (2; +∞)f’(x) = $\frac{{3x(x - 2) + 1}}{{12{{(x - 1)}^2}}}$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ (2; +∞)→ f(x) đồng biến trên (2; +∞) nên $f(x) > f(2) = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}$
Hàm nghich biến trên<1; + ∞) ↔ y’ ≤ 0 ∀x ∈ <1; + ∞)↔mx$^2$ + 4mx + 14 ≤0; ∀x ∈<1; + ∞)$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \frac{{ - 14}}{{{x^2} + 4x}} \ge m\,\,\forall x \in (2; + \infty )\\f'(x) = \frac{{12(2x + 4)}}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\,\forall x \in \left< {1; + \infty } \right)\\\to f(x)dong\,bien\,\,\,tren\,\,\left< {1; + \infty } \right)\,\,nen\,\,\,f(x) > f(1) = \frac{{ - 14}}{5} \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 14}}{5}\end{array}$
Ví dụ 3:
Cho hàm số $y = \frac{{ - 1}}{3}{x^3} + (m - 1){x^2} + (m + 3)x – 4$. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3).
(0; 3) ↔ y’ ≥ 0 ∀x ∈ <0; 3> ↔ -x$^2$ + 2(m - 1)x + m + 3 ≥ 0 ∀x ∈ <0; 3>$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} \le m\,$ ∀x ∈ <0; 3>f’(x) = $\frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ <0; 3>→ f(x) đồng biến trên <0;3> nên $Max\,\,f(x) = f(3) = \frac{{12}}{7} \le m$
Ví dụ 4
:Chứng minh rằng:a) F(x) = cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R.b) F(x) = x + cos$^2$x đồng biến trên R.
*
*

*
Phát biểu nào sau đây là đúng.A. Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(( - \infty ; - 1);\left( {11; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (-1; 11)B. Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(( - \infty ; - 1);\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (-1; 0); (0; 1)C. Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(( - \infty ; - 1);\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (-1; 1)D. Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(( - \infty ; - 1) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (-1; 0); (0; 1)
Tìm m lớn nhất để hàm số \(y = x^3 - 3mx^2 + x\) đồng biến trên R? A. 1 B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) C. \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) D. 2
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{ - x + 1}}\). Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên R\{1}. B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–\(\infty\); 1); (1; +\(\infty\)). C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–\(\infty\); 1); (1; +\(\infty\)). D. Hàm số nghịch biến trên R\{1}.
Hàm số \(y=\sqrt {2x - {x^2}}\) đồng biến trên khoảng nào?A. (1; 2).B. ( -\(\infty\) ; 1)C. ( 1; +\(\infty\)).D. (0; 1).
Cho hàm số \(f(x) = x - \frac{4}{x}\) . Kết luận nào sau đây là đúng? A. Hàm số f(x) đồng biến trên R. B. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0; + \infty } \right)\). C. Hàm số f(x) nghịch biến trên R. D. Hàm số f(x) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0; + \infty } \right)\).

Xem thêm: Toán 10 Bài 1 Lý Thuyết Về Mệnh Đề: Bài 1, Lý Thuyết Toán Lớp 10


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - mx - 10\) đồng biến trên \(\left< {0;\, + \infty } \right)\) A. \(m \ge 0\) B. \(m \le 0\) C. Không có m D. Đáp số khác
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2017\) đồng biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - \infty ;3} \right)\) B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - 1;3} \right)\)
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 7\) nghịch biến trên khoảng nào? A. \(\left( {0;1} \right)\) B. \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 1;0} \right)\) D. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Cho hàm số \(y = \frac{{ - x + 1}}{{3x + 1}}\). Trong các khoảng sau, hàm số không nghịch biến trong khoảng nào? A. \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\) B. \(\left( {5;7} \right)\) C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) D. \(\left( { - 1;2} \right)\)
Cho hàm số có bảng biến thiên sau:
*
Phát biểu nào sau đây là đúng. A. Hàm số đồng biến trên\(( - \infty ;0) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (0;1) B. Hàm số đồng biến trên hai khoảng \(( - \infty ;1);\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (0;1) C. Hàm số đồng biến trên hai khoảng \((- \infty ;0);\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (0; 1) D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \setminus \left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên (0; 1)
Hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}(x + 2)\) Phát biểu nào sau đây là đúng A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right);\left( {0; + \infty } \right)\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right);\left( {0; + \infty } \right)\) D. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-2 ;+\infty )\)
Chỉ tìm trong tiêu đềĐược gửi bởi thành viên:

Dãn cách tên bằng dấu phẩy(,).

Mới hơn ngày: Search this thread only Search this forum only Hiển thị kết quả dạng Chủ đề