Hàm số bậc nhất là một chương cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS. Chủ đề này luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru gửi đến bạn đọc bài viết tổng hợp những phương pháp và ví dụ minh họa điển hình kèm lời giải chi tiết. Cùng nhau khám phá nhé:

I. Trọng tâm kiến thức về hàm số bậc nhất.

Bạn đang xem: Đồ thị hàm bậc nhất

1. Hàm số bậc nhất là gì?

Hàm số có dạng y=ax+b () được gọi là hàm số bậc nhất.

2. Tính biến thiên ở hàm số bậc nhất.

- Xét hàm số y=ax=b (a≠0):

- Tập xác định: D=R

- Khi a>0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a

*

3. Đồ thị hàm số.

Hàm số y=ax+b () có đồ thị là một đường thẳng:

- Hệ số góc là a.- Cắt trục hoành tại A(-b/a;0).- Cắt trục tung tại B(0;b)

Đặc biệt, trong trường hợp a=0, hàm số suy biến thành y=b, là một hàm hằng, đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành.

Lưu ý: khi cho đường thẳng d có hệ số góc a, đi qua điểm (x0;y0), sẽ có phương trình:

*

II. Các dạng toán hàm số bậc nhất tổng hợp.

Dạng 1: Tìm hàm số bậc nhất, xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất.

Phương pháp:

Đối với bài toán xác định hàm số bậc nhất, ta sẽ làm theo các bước:

- Hàm số cần tìm có dạng: y=ax+b ().- Sử dụng giả thuyết mà đề cho, thiết lập các phương trình thể hiện mối quan hệ giữa a và b.- Giải hệ vừa thiết lập, ta sẽ có được hàm số cần tìm.

Đối với bài toán tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất: gọi đường thẳng d: y=ax+b (a≠0), đường thẳng d’: y=a’x+b’ (a’≠0), lúc này:

+ d trùng d’ khi và chỉ khi:

*

+ d song song d’ khi:

*

+ d cắt d’ khi a≠a’, lúc này tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:

*

đặc biệt khi

*
thì d vuông góc với d’.

Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định hàm số biết rằng:

a. d đi qua điểm (1;3) và (2;-1). b. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời song song với d’: 3x-2y+1=0. c. d đi qua điểm (1;2), đồng thời cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại M, N thỏa diện tích tam giác OMN là nhỏ nhất. d. d đi qua (2;-1) và vuông góc với d’: y=4x+3.

Hướng dẫn:

Hàm số có dạng y=ax+b ()

a. Chú ý: một đường thẳng có dạng y=ax+b (), khi đi qua điểm (x0;y0) thì ta sẽ thu được đẳng thức sau: y0=ax0+b

Vì hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;-1), ta có hệ phương trình:

*

Vậy đáp số là

*
.

b. Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song, ta biến đổi d’ về dạng:

*

Do d song song d’, suy ra:

*

lại có d đi qua (3;-2), suy ra:

*
, suy ra:

*

Ta có thu được hàm số cần tìm.

c. Tọa độ các điểm cắt lần lượt là:

*

Do điểm giao nằm trên tia Ox và tia Oy, vì vậy a0

Lúc này, diện tích tam giác được tính theo công thức:

*

Theo đề, đồ thị đi qua điểm (1;2), suy ra: 2=a+b ⇒ b=2-a

Thế vào công thức diện tích:

*

Vậy diện tích tam giác MNO đạt nhỏ nhất khi:

*

Đáp số cần tìm:

*

Chú ý: ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương để giải bài toán trên, cụ thể: cho hai số thực dương a,b, khi đó ta có bất đẳng thức:

*

điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi: a=b

d. Đồ thị đi qua điểm (2;-1) nên:

*

Lại có d vuông góc d’:

*

Vậy ta thu được:

*

Ví dụ 2: Xét hai đường thẳng d:y=x+2m và d’:y=3x+2.

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vừa cho.Xác định giá trị của tham số m để 3 đường thẳng d, d’ và d’’ đồng quy, biết rằng:

*

Hướng dẫn:

a. Vì 1≠3 (hai hệ số góc khác nhau) nên d và d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm là nghiệm của:

*

Vậy tọa độ giao điểm là M(m-1;3m-1)

b. Do 3 đường thẳng đồng quy, vậy M ∈d’’. Suy ra:

*

Xét:

m=1, khi đó 3 đường thằng là d:y=x+2; d’: y=3x=2 và d’’: y=-x+2 phân biệt cắt nhau tại (0;2)m=-3 khi đó d’ trùng với d’’, không thỏa mãn tính phân biệt.

Vậy m=1 là đáp số cần tìm.

Dạng 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp: Dựa vào tính chất biến thiên đã nêu ở mục I để giải.

Ví dụ 1: Cho hàm số sau, xét sự biến thiên:

y=3x+6x+2y-3=0

Hướng dẫn:

a. Tập xác định D=R

a=3>0, vậy nên hàm số đồng biến trên R.

Bảng biến thiên được vẽ như sau:

*

Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3)

*

b. Ta biến đổi hàm số về dạng:

*

Tập xác định D=R.

Hệ số góc a

*

Dạng 3: Hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp:

Xét đồ thị hàm số có dạng

*
, để vẽ đồ thị này, ta có thể thực hiện theo các cách sau:

Cách 1: Vẽ đồ thị (C1) của hàm số y=ax+b với các tọa độ x thỏa mãn ax+b≥0. Tiếp tục vẽ đồ thị (C2) của hàm số y= -ax-b ở các tọa độ x thỏa mãn ax+bĐể vẽ đồ thị (C’) của y=f(|x|), ta thực hiện:Giữ đồ thị (C) bên phải trục tung.Lấy đối xứng phần đồ thị ở bên trái trục tung qua trục tung, sau đó, xóa phần bên trái đi.Để vẽ đồ thị (C2) của hàm số y=|f(x)|, ta thực hiện:Giữ phần đồ thị bên trên trục hoành.Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục hoành qua trục hoành, sau đó xóa phần bên dưới trục hoành đi.

Ví dụ: Vẽ đồ thị:

*
*

Hướng dẫn:

a. Khi x≥0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0)

- Khi x

*

b. Ta vẽ đường thẳng y=-3x+3 và đường thẳng y=3x-3. Sau đó xóa phần đồ thị nằm dưới trục hoành, ta sẽ thu được đồ thị cần tìm.

Xem thêm: Đề Cương Ôn Tập Học Kì 2 Toán 6 Năm 2021, Đề Cương Học Kì 2 Môn Toán 6 Năm 2021

*

Trên đây là tổng hợp các phương pháp cơ bản nhất để giải các dạng toán Hàm số bậc nhất. Hy vọng qua bài viết này, các bạn sẽ tự củng cố cũng như rèn luyện thêm cho mình tư duy, định hướng khi giải toán. Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm những bài viết khác trên trang của Kiến Guru để học thêm nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tập tốt.