Hướng dẫn giải Bài §1. Hàm số lượng giác, Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.
Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 17
Lý thuyết
1. Hàm số $sin$ và hàm số $cosin$
a) Hàm số $sin$
Xét hàm số (y = sin x)
– Tập xác định: (D=mathbbR.)
– Tập giá trị: (<-1;1>.)
– Hàm số tuần hoàn với chu kì (2pi ).
– Sự biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( -frac pi 2 + k2pi ;,,fracpi 2 + k2pi ight)), (k in mathbbZ.)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (left( k2pi ;,,pi + k2pi ight)), (k in mathbbZ).
– Đồ thị hàm số (y = sin x):
Đồ thị là một đường hình sin.
Do hàm số (y = sin x) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số (y = sin x):
b) Hàm số $cosin$
Xét hàm số (y = cos x)
– Tập xác định: (mathbbR).
– Tập giá trị: (<-1;1>.)
– Hàm số tuần hoàn với chu kì: (2pi )
– Sự biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (( – pi + k2pi ;,,k2pi )), (k in mathbbZ).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ((k2pi ;,,pi + k2pi )), (k in mathbbZ).
– Đồ thị hàm số (y = cos x)
Đồ thị hàm số là một đường hình sin.
Hàm số (y = cos x) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số (y = cos x):
2. Hàm số $tan$ và hàm số $cot$
a) Hàm số (y = an x)
– Tập xác định (mathbbRackslash left fracpi 2 + kpi ,left( k in mathbbZ ight) ight.)
– Hàm số tuần hoàn với chu kì (pi.)
– Tập giá trị là (mathbbR).
– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( frac – pi 2 + kpi ;,fracpi 2 + ,kpi ight),,,k in mathbbZ.)
– Đồ thị hàm số (y = an x)
Hàm số (y = an x) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số (y = an x):
b) Hàm số (y = cot x)
– Tập xác định (mathbbRackslash left kpi ,left( k in ight) ight.)
– Tập giá trị là (mathbbR.)
– Hàm số tuần hoàn với chu kì (pi .)
– Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (left( kpi ;,pi + ,kpi ight),,,k in mathbbZ.)
– Đồ thị hàm số (y = cot x)
Hàm số (y = cot x) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số (y = cot x):
Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 4 sgk Đại số và Giải tích 11
a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính $sinx, cosx$ với $x$ là các số sau:
(pi over 6;,pi over 4;,1,5;,2;,3,1;,4,25;,5)
b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc $A$, hãy xác định các điểm $M$ mà số đo của cung $AM$ bằng $x (rad)$ tương ứng đã cho ở trên và xác định $sinx, cosx$ (lấy $π ≈ 3,14$)
Trả lời:
a) Ta có:
(eqalign& sin pi over 6 = 1 over 2; cospi over 6 = sqrt 3 over 2 cr& sin pi over 4 = sqrt 2 over 2;,cos pi over 4 = sqrt 2 over 2 cr& sin 1,5 = 0,9975;,cos 1,5 = 0,0707 cr& sin 2 = 0,9093;,,,cos 2 = – 0,4161 cr& sin 3,1 = 0,0416;,,,cos 3,1 = – 0,9991 cr& sin 4,25 = – 0,8950;,,cos 4,25 = – 0,4461 cr& sin 5 = – 0,9589;,,,cos 5 = 0,2837 cr )
b) Ta biểu diễn trên đường tròn lượng giác như sau:
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11
Hãy so sánh các giá trị $sinx$ và $sin(-x), cosx$ và $cos(-x).$
Trả lời:
Ta có:
$sin x = -sin(-x).$
$cosx = cos(-x).$
3. Trả lời câu hỏi 3 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm những số (T) sao cho (f(x + T) ) với mọi (x) thuộc tập xác định của hàm số sau:
a) (f(x) = sin x);
b) (f(x) = an x).
Trả lời:
Ta có:
a) (T = k2π (k ∈ Z)) vì (f(x+T)=sin (x+k2pi )) (=sin x =f(x))
b) (T = kπ (k ∈ Z)) vì (f(x+T)= an (x+kpi )) (= an x =f(x))
Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
fundacionfernandovillalon.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §1. Hàm số lượng giác trong Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11
Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn (small left <- pi ;frac3 pi 2 ight >) để hàm số (small y = tanx);
a) Nhận giá trị bằng $0$;
b) Nhận giá trị bằng $1$;
c) Nhận giá trị dương;
d) Nhận giá trị âm.
Bài giải:
Đồ thị hàm số (small y = tanx):
a) Trục hoành cắt đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (x in) (left< – pi ;3pi over 2 ight>)) tại ba điểm có hoành độ – π ; 0 ; π.
Do đó trên đoạn (left< – pi ;3pi over 2 ight>) chỉ có ba giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị bằng (0), đó là (x = – π; x = 0 ; x = π).
b) Đường thẳng (y = 1) cắt đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (xin)(left< – pi ;3pi over 2 ight>)) tại ba điểm có hoành độ (pi over 4;pi over 4 pm pi ) .
Do đó trên đoạn (left< – pi ;3pi over 2 ight>) chỉ có ba giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị bằng (1), đó là (x = – 3pi over 4;,,x = pi over 4;,,x = 5pi over 4).
c) Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (x in) (left< – pi ;3pi over 2 ight>)) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ truộc một trong các khoảng (left( – pi ; – pi over 2 ight)); (left( 0;pi over 2 ight)); (left( pi ;3pi over 2 ight)).
Vậy trên đoạn (left< – pi ;3pi over 2 ight>) , các giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị dương là (x in left( – pi ; – pi over 2 ight) cup left( 0;pi over 2 ight) cup left( pi ;3pi over 2 ight)).
d) Phần phía dưới trục hoành của đoạn đồ thị (y = tanx) (ứng với (x in) (left< – pi ;3pi over 2 ight>)) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng (left( – pi over 2;0 ight),left( pi over 2;pi ight)).
Vậy trên đoạn (left< – pi ;3pi over 2 ight>) , các giá trị của (x) để hàm số (y = tanx) nhận giá trị âm là (x in left( – pi over 2;0 ight),left( pi over 2;pi ight))
2. Giải bài 2 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số:
a) (small y=frac1+cosxsinx) ;
b) (small y=sqrtfrac1+cosx1-cosx) ;
c) (small y=tan(x-fracpi 3)) ;
d) (small y=cot(x+fracpi 6)) .
Bài giải:
a) Hàm số (y=frac1+cosxsinx) xác định khi (sinx eq 0Leftrightarrow x eq k pi,kin mathbbZ)
Vậy tập xác định của hàm số là (D=mathbbR setminus left k pi,kin mathbbZ ight \)
b) Hàm số (y=sqrtfrac1+cosx1-cosx) xác định khi (left{eginmatrix frac1+cosx1-cosxgeq 0\ \ 1-cosx eq 0 endmatrix ight.)
(Leftrightarrow 1-cosx> 0 (do 1+cosxgeq 0))
(Leftrightarrow cosx eq 1 Leftrightarrow x eq k2 pi,kin mathbbZ)
Vậy tập xác định của hàm số là (D=mathbbR setminus left k 2 pi,kin mathbbZ ight \)
c) Hàm số xác định khi (cosleft ( x-fracpi 3 ight ) eq 0) xác định khi:(x-fracpi 3 eq fracpi 2+kpi Leftrightarrow x eq frac5pi 6+kpi (kin Z))
Vậy tập xác định của hàm số (D=mathbbR setminus left frac5pi 6+k pi ,kin Z ight \)
d) Hàm số xác định khi (sin left ( x+fracpi 6 ight ) eq 0) xác định khi (x+fracpi 6 eq kpi Leftrightarrow x eq -fracpi 6+kpi,kin Z)
Vậy tập xác định của hàm số là (D=mathbbR setminus left fracpi 6+k pi ,kin Z ight \)
3. Giải bài 3 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11
Dựa vào đồ thị hàm số (small y = sinx), hãy vẽ đồ thị của hàm số (small y = |sinx|).
Bài giải:
Để xác định đồ thị hàm số (y=|f(x)|) khi biết đồ thị hàm số (y=f(x)) ta thực hiện các bước sau:
Giữ nguyên phần trên trục hoành của đồ thị hàm số (y=f(x)).
Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị dưới trục hoành của hàm số (y=f(x)).
Xóa bỏ phần đồ thị bên dưới trục hoành đi, ta được đồ thị hàm số y=|f(x)|.
Áp dụng nhận xét trên ta có bài giải chi tiết bài 3 như sau:
Ta có (left | sinx ight |=left{eginmatrix sinx nếu sinx geq 0\ -sinx nếu sinx
4. Giải bài 4 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng (small sin2(x + k pi ) = sin 2x) với mọi số nguyên $k$. Từ đó vẽ đồ thị hàm số (small y = sin2x).
Bài giải:
Để vẽ được đồ thị hàm số lượng giác ta cần tìm được chu kì tuần hoàn của hàm số đó:
Trong bài này ta áp dụng nhận xét sau: Hàm số (y = sin left( ax + b ight),y = cos left( ax + b ight)) với (a e 0) cho chu kì (T = frac2pi a ight.).
Ta có (sin2(x+kpi)=sin(2x+2k pi)=sin2x, kin mathbbZ).
Từ đó suy ra hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn chu kì (pi), mặt khác y = sin2x là hàm số lẻ, do đó ta vẽ đồ thị hàm số y = sin2x trên (left < 0;fracpi 2 ight >), rồi lấy đối xứng qua O ta có đồ thị trên (left < -fracpi 2;fracpi 2 ight >) rồi sử dụng phép tịnh tiến (vecv= (pi; 0)) và (-vecv= (-pi; 0)) ta được đồ thị hàm số y = sin2x.
Xét y = sin2x trên (left < 0;fracpi 2 ight >) ta có bảng biến thiên:
Suy ra trên (left < -fracpi 2;fracpi 2 ight >), $y = sin2x$ có đồ thị dạng:
Do vậy đồ thị $y = sin2x$ có dạng:
5. Giải bài 5 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11
Dựa vào đồ thị hàm số $y = cosx$, tìm các giá trị của $x$ để (cosx = frac12).
Bài giải:
Vẽ đồ thị hàm số $y = cosx$ và đường thẳng (y=frac12) trên cùng một hệ trục toạ độ $Oxy.$
Để (cosx=frac12) thì đường thẳng (y=frac12) cắt đồ thị $y = cosx$.
Dựa vào đồ thị suy ra (cosx=frac12) khi (xin left ….;-frac7pi 3;-fracpi 3;fracpi 3;frac7pi 3;… ight \) hay (x=pm fracpi 3+k2 pi (kin mathbbZ))
6. Giải bài 6 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11
Dựa vào đồ thị hàm số $y = sinx$, tìm các khoảng giá trị của $x$ để hàm số đó nhận giá trị dương.
Bài giải:
Vẽ đồ thị hàm số $y = sinx:$
Dựa vào đồ thị, suy ra $y = sinx$ nhận giá trị dương khi: (xin left …;(-2pi ;-pi );(0;pi );(2pi ;3pi );… ight \) hay (xin left k2 pi; pi + k2 pi ight \) với (kin mathbbZ).
7. Giải bài 7 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11
Dựa vào đồ thị hàm số $y = cosx$, tìm các khoảng giá trị của $x$ để hàm số đó nhận giá trị âm.
Xem thêm: Đề Thi Tiếng Anh Lớp 3 Cuối Học Kì 2 Năm 2021, Bộ Đề Thi Tiếng Anh Lớp 3 Học Kì 2 Năm 2021
Bài giải:
Vẽ đồ thị hàm số $y = cosx$.
Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra $y = cosx$ nhận giá trị âm khi:
(x in left …left ( -frac7pi2;-frac5pi2 ight ); left ( -frac5pi3;-frac3pi2 ight ); left ( -frac3pi2;-fracpi2 ight ); left (fracpi2;frac3pi2 ight ) ; left (frac3pi2;frac5pi2 ight );… ight \)
Hay (xin left ( fracpi 2+k2 pi;frac3pi2+k2pi ight ),kin Z)
8. Giải bài 8 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
a) (y=2sqrtcosx+1)
b) (y=3-2sinx.)
Bài giải:
a) Ta có (cosx leq 1 forall x.)
(Rightarrow 2sqrtcosx+1leq 2.sqrt1+1=3)
⇒ max y =3 khi cosx = 1 hay khi (x = k pi)
b) Ta có (sinxgeq -1 forall xRightarrow 3-2sinxleq 3+2.1=5)
Vậy $max y = 5$ khi $sinx = -1$ hay (x=-fracpi 2+k2 pi.)
Bài tiếp theo:
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11!