Hướng dẫn giải Bài §1. Hàm số lượng giác, Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 17

Lý thuyết

1. Hàm số $sin$ và hàm số $cosin$

a) Hàm số $sin$

Xét hàm số \(y = \sin x\)

– Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

– Tập giá trị: \(<-1;1>.\)

– Hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

– Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

– Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

Đồ thị là một đường hình sin.

Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

*

b) Hàm số $cosin$

Xét hàm số \(y = \cos x\)

– Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

– Tập giá trị: \(<-1;1>.\)

– Hàm số tuần hoàn với chu kì: \(2\pi \)

– Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( – \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).

– Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)

Đồ thị hàm số là một đường hình sin.

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)​:

*

2. Hàm số $tan$ và hàm số $cot$

a) Hàm số \(y = \tan x\)

– Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\)

– Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\)

– Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ – \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

– Đồ thị hàm số \(y = \tan x\)​

Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số \(y = \tan x\):

b) Hàm số \(y = \cot x\)

– Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\)

– Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\)

– Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)

– Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

– Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)

Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)​:

*

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 4 sgk Đại số và Giải tích 11

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính $sinx, cosx$ với $x$ là các số sau:

\({\pi \over 6};\,{\pi \over 4};\,1,5;\,2;\,3,1;\,4,25;\,5\)

b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc $A$, hãy xác định các điểm $M$ mà số đo của cung $AM$ bằng $x (rad)$ tương ứng đã cho ở trên và xác định $sinx, cosx$ (lấy $π ≈ 3,14$)

Trả lời:

a) Ta có:

\(\eqalign{& \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2}; cos{\pi \over 6} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr& \sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2};\,\cos {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr& \sin 1,5 = 0,9975;\,\cos 1,5 = 0,0707 \cr& \sin 2 = 0,9093;\,\,\,\cos 2 = – 0,4161 \cr& \sin 3,1 = 0,0416;\,\,\,\cos 3,1 = – 0,9991 \cr& \sin 4,25 = – 0,8950;\,\,\cos 4,25 = – 0,4461 \cr& \sin 5 = – 0,9589;\,\,\,\cos 5 = 0,2837 \cr} \)

b) Ta biểu diễn trên đường tròn lượng giác như sau:

*
$\sin {\pi \over 6} = {1 \over 2}; cos{\pi \over 6} = {{\sqrt 3 } \over 2}$

*
$\sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2};\,\cos {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}$

*
$\sin 1,5 = 0,9975;\,\cos 1,5 = 0,0707$

*
$\sin 2 = 0,9093;\,\,\,\cos 2 = – 0,4161$

*
$\sin 3,1 = 0,0416;\,\,\,\cos 3,1 = – 0,9991$

*
$\sin 4,25 = – 0,8950;\,\,\cos 4,25 = – 0,4461$

*
$\sin 5 = – 0,9589;\,\,\,\cos 5 = 0,2837$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy so sánh các giá trị $sinx$ và $sin(-x), cosx$ và $cos(-x).$

Trả lời:

Ta có:

$sin⁡ x = -sin⁡(-x).$

$cos⁡x = cos⁡(-x).$

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm những số \(T\) sao cho \(f(x + T) \) với mọi \(x\) thuộc tập xác định của hàm số sau:

a) \(f(x) = \sin x\);

b) \(f(x) = \tan x\).

Trả lời:

Ta có:

a) \(T = k2π (k ∈ Z)\) vì \(f(x+T)=\sin (x+k2\pi )\) \(=\sin x =f(x)\)

b) \(T = kπ (k ∈ Z)\) vì \(f(x+T)=\tan (x+k\pi )\) \(=\tan x =f(x)\)

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

fundacionfernandovillalon.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §1. Hàm số lượng giác trong Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\small \left <- \pi ;\frac{3 \pi }{2} \right >\) để hàm số \(\small y = tanx\);

a) Nhận giá trị bằng $0$;

b) Nhận giá trị bằng $1$;

c) Nhận giá trị dương;

d) Nhận giá trị âm.

Bài giải:

Đồ thị hàm số \(\small y = tanx\):

a) Trục hoành cắt đoạn đồ thị \(y = tanx\) (ứng với \(x \in\) \(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\)) tại ba điểm có hoành độ – π ; 0 ; π.

Do đó trên đoạn \(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\) chỉ có ba giá trị của \(x\) để hàm số \(y = tanx\) nhận giá trị bằng \(0\), đó là \(x = – π; x = 0 ; x = π\).

b) Đường thẳng \(y = 1\) cắt đoạn đồ thị \(y = tanx\) (ứng với \(x\in\)\(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\)) tại ba điểm có hoành độ \({\pi \over 4};{\pi \over 4} \pm \pi \) .

Do đó trên đoạn \(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\) chỉ có ba giá trị của \(x\) để hàm số \(y = tanx\) nhận giá trị bằng \(1\), đó là \(x = – {{3\pi } \over 4};\,\,x = {\pi \over 4};\,\,x = {{5\pi } \over 4}\).

c) Phần phía trên trục hoành của đoạn đồ thị \(y = tanx\) (ứng với \(x \in\) \(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\)) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ truộc một trong các khoảng \(\left( { – \pi ; – {\pi \over 2}} \right)\); \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\); \(\left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right)\).

Vậy trên đoạn \(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\) , các giá trị của \(x\) để hàm số \(y = tanx\) nhận giá trị dương là \(x \in \left( { – \pi ; – {\pi \over 2}} \right) \cup \left( {0;{\pi \over 2}} \right) \cup \left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right)\).

d) Phần phía dưới trục hoành của đoạn đồ thị \(y = tanx\) (ứng với \(x \in\) \(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\)) gồm các điểm của đồ thị có hoành độ thuộc một trong các khoảng \(\left( { – {\pi \over 2};0} \right),\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\).

Vậy trên đoạn \(\left< { – \pi ;{{3\pi } \over 2}} \right>\) , các giá trị của \(x\) để hàm số \(y = tanx\) nhận giá trị âm là \(x \in \left( { – {\pi \over 2};0} \right),\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\)

2. Giải bài 2 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(\small y=\frac{1+cosx}{sinx}\) ;

b) \(\small y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\) ;

c) \(\small y=tan(x-\frac{\pi }{3})\) ;

d) \(\small y=cot(x+\frac{\pi }{6})\) .

Bài giải:

a) Hàm số \(y=\frac{1+cosx}{sinx}\) xác định khi \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x \neq k \pi,k\in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\)

b) Hàm số \(y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\) xác định khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{1+cosx}{1-cosx}\geq 0\\ \\ 1-cosx\neq 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow 1-cosx> 0 (do \ \ 1+cosx\geq 0)\)

\(\Leftrightarrow cosx\neq 1 \Leftrightarrow x \neq k2 \pi,k\in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ k 2 \pi,k\in \mathbb{Z} \right \}\)

c) Hàm số xác định khi \(cos\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )\neq 0\) xác định khi:\(x-\frac{\pi }{3}\neq \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\neq \frac{5\pi }{6}+k\pi (k\in Z)\)

Vậy tập xác định của hàm số \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{5\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\)

d) Hàm số xác định khi \(sin \left ( x+\frac{\pi }{6} \right )\neq 0\) xác định khi \(x+\frac{\pi }{6}\neq k\pi \Leftrightarrow x\neq -\frac{\pi }{6}+k\pi,k\in Z\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{\pi }{6}+k \pi ,k\in Z \right \}\)

3. Giải bài 3 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số \(\small y = sinx\), hãy vẽ đồ thị của hàm số \(\small y = |sinx|\).

Bài giải:

Để xác định đồ thị hàm số \(y=|f(x)|\) khi biết đồ thị hàm số \(y=f(x)\) ta thực hiện các bước sau:

Giữ nguyên phần trên trục hoành của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị dưới trục hoành của hàm số \(y=f(x)\).

Xóa bỏ phần đồ thị bên dưới trục hoành đi, ta được đồ thị hàm số y=|f(x)|.

Áp dụng nhận xét trên ta có bài giải chi tiết bài 3 như sau:

Ta có \(\left | sinx \right |=\left\{\begin{matrix} sinx \ \ nếu \ \ sinx \geq 0\\ -sinx \ \ nếu \ \ sinx

4. Giải bài 4 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng \(\small sin2(x + k \pi ) = sin 2x\) với mọi số nguyên $k$. Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(\small y = sin2x\).

Bài giải:

Để vẽ được đồ thị hàm số lượng giác ta cần tìm được chu kì tuần hoàn của hàm số đó:

Trong bài này ta áp dụng nhận xét sau: Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\).

Ta có \(sin2(x+k\pi)=sin(2x+2k \pi)=sin2x, k\in \mathbb{Z}\).

Từ đó suy ra hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn chu kì \(\pi\), mặt khác y = sin2x là hàm số lẻ, do đó ta vẽ đồ thị hàm số y = sin2x trên \(\left < 0;\frac{\pi }{2} \right >\), rồi lấy đối xứng qua O ta có đồ thị trên \(\left < -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right >\) rồi sử dụng phép tịnh tiến \(\vec{v}= (\pi; 0)\) và \(-\vec{v}= (-\pi; 0)\) ta được đồ thị hàm số y = sin2x.

Xét y = sin2x trên \(\left < 0;\frac{\pi }{2} \right >\) ta có bảng biến thiên:

*

Suy ra trên \(\left < -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right >\), $y = sin2x$ có đồ thị dạng:

*

Do vậy đồ thị $y = sin2x$ có dạng:

*

5. Giải bài 5 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số $y = cosx$, tìm các giá trị của $x$ để \(cosx = \frac{1}{2}\).

Bài giải:

Vẽ đồ thị hàm số $y = cosx$ và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) trên cùng một hệ trục toạ độ $Oxy.$

*

Để \(cosx=\frac{1}{2}\) thì đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) cắt đồ thị $y = cosx$.

Dựa vào đồ thị suy ra \(cosx=\frac{1}{2}\) khi \(x\in \left \{ ….;-\frac{7\pi }{3};-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3};\frac{7\pi }{3};…\right \}\) hay \(x=\pm \frac{\pi }{3}+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\)

6. Giải bài 6 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số $y = sinx$, tìm các khoảng giá trị của $x$ để hàm số đó nhận giá trị dương.

Bài giải:

Vẽ đồ thị hàm số $y = sinx:$

*

Dựa vào đồ thị, suy ra $y = sinx$ nhận giá trị dương khi: \(x\in \left \{ …;(-2\pi ;-\pi );(0;\pi );(2\pi ;3\pi );… \right \}\) hay \(x\in \left \{ k2 \pi; \pi + k2 \pi \right \}\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

7. Giải bài 7 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11

Dựa vào đồ thị hàm số $y = cosx$, tìm các khoảng giá trị của $x$ để hàm số đó nhận giá trị âm.

Xem thêm: Đề Thi Tiếng Anh Lớp 3 Cuối Học Kì 2 Năm 2021, Bộ Đề Thi Tiếng Anh Lớp 3 Học Kì 2 Năm 2021

Bài giải:

Vẽ đồ thị hàm số $y = cosx$.

*

Dựa vào đồ thị hàm số, suy ra $y = cosx$ nhận giá trị âm khi:

\(x \in \left \{ …\left ( -\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2} \right ); \left ( -\frac{5\pi}{3};-\frac{3\pi}{2} \right ); \left ( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ); \left (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right ) ; \left (\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right );… \right \}\)

Hay \(x\in \left ( \frac{\pi }{2}+k2 \pi;\frac{3\pi}{2}+k2\pi \right ),k\in Z\)

8. Giải bài 8 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

a) \(y=2\sqrt{cosx}+1\)

b) \(y=3-2sinx.\)

Bài giải:

a) Ta có \(cosx \leq 1 \ \forall x.\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{cosx}+1\leq 2.\sqrt{1}+1=3\)

⇒ max y =3 khi cosx = 1 hay khi \(x = k \pi\)

b) Ta có \(sinx\geq -1 \ \ \forall x\Rightarrow 3-2sinx\leq 3+2.1=5\)

Vậy $max y = 5$ khi $sinx = -1$ hay \(x=-\frac{\pi }{2}+k2 \pi.\)

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 17 18 sgk Đại số và Giải tích 11!