Với Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác Toán lớp 11 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết - Toán lớp 11
1. Lí thuyết
a) Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác
−1≤sinu(x)≤1; 0≤sin2u(x)≤1;0≤sinu(x)≤1
−1≤cosu(x)≤1; 0≤cos2u(x)≤1;0≤cosu(x)≤1
b) Dạng y = asinx + bcosx + c
Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin
y = asinx + bcosx + c=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx+c
⇔y=a2+b2.sinx+α+cvới αthỏa mãn
cosα=aa2+b2;sinα=ba2+b2
Bước 2: Đánh giá−1≤sinx+α≤1∀x∈ℝ
2. Công thức
a) Dạng y = asin
Ta có:−a+b≤y≤a+b
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b.
Bạn đang xem: Gtln gtnn của hàm số lượng giác
b) Dạng y = asin2
Dạng y = acos2
+ Trường hợp 1: a > 0. Ta có: b≤y≤a+b.
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là b và giá trị lớn nhất là a + b.
+ Trường hợp 2: a a+b≤y≤b.
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là a + b và giá trị lớn nhất là b.
c) Dạng y = asinx + bcosx + c
Ta có:−a2+b2+c≤y≤a2+b2+c
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là −a2+b2+cvà giá trị lớn nhất là a2+b2+c.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:
a) y = 3sin(2x+1) – 7
b)y=−2cos2x+π3+1
Lời giải
a) y = 3sin(2x+1) – 7
Cách 1: Áp dụng công thức ta có:−3−7≤y≤3−7⇔−10≤y≤−4
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có−1≤sin2x+1≤1∀x∈ℝ
⇔−3≤3sin2x+1≤3∀x∈ℝ⇔−10≤sin2x+1−7≤−4∀x∈ℝ⇔−10≤y≤−4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là -4 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -10.
b)y=−2cos2x+π3+1
Cách 1: Áp dụng công thức ta có: −2+1≤y≤1⇔−1≤y≤1.
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có0≤cos2x+π3≤1∀x∈ℝ
⇔0≤2cos2x+π3≤2∀x∈ℝ⇔−2≤−2cos2x+π3≤0∀x∈ℝ⇔−1≤−2cos2x+π3+1≤1∀x∈ℝ⇔−1≤y≤1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 5sin2x – 12cosx + 2
Lời giải
Cách 1: Áp dụng công thức ta có:
−52+122+2≤y≤52+122+2⇔−11≤y≤15
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có: y = 5sin2x – 12cosx + 2
⇔y=13513sin2x−1213cos2x+2⇔y=13sin2xcosα−cos2xsinα+2
⇔y=13sin2x−α+2với 513=cosα; 1213=sinα.
Ta có−1≤sin2x−α≤1∀x∈ℝ
⇔−13≤13sin2x−α≤13∀x∈ℝ⇔−11≤13sin2x−α+2≤15∀x∈ℝ⇔−11≤y ≤15
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 15 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -11.
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=7−2cosx+π4lần lượt là:
A. 4 và 7
B. -2 và 7
C. 5 và 9
D. -2 và 2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là:
A. 3 và 10
B. 1 và 11
C.
Xem thêm: 2 Con Mèo Đánh Nhau Ngăn Chặn Thế Nào? Làm Thế Nào Để Ngăn Chặn
6 và 10
D. -1 và 13
Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2|sinx| lần lượt là