II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông ABC, gọi b", c" là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền, ta có các hệ thức:
III. Các hệ thức lượng giác trong tam giác thường
1. Định lí hàm COSIN
Trong tam giác ABC ta luôn có:
Hệ quả: Trong tam giác ABC, ta luôn có:
2. Định lí hàm SIN
Trong tam giác ABC ta có:
Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có:
Chú ý: Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
3. Định lý về đường trung tuyến
Trong tam giác ABC ta có:
4. Định lý về diện tích tam giác
Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau:
5. Định lý về đường phân giác
B. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi $l_A,l_B,l_C$ lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng. a. $l_A=frac2bcb+ccos fracA2$ b. $fraccos fracA2l_A+fraccos fracB2l_B+fraccos fracC2l_C=frac1a+frac1b+frac1c$ c. $frac1l_A+frac1l_B+frac1l_C>frac1a+frac1b+frac1c$
|
Giải
a. Trước hết chứng minh công $sin alpha =2sin fracalpha 2cos fracalpha 2$
bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có $widehatA=2alpha $ thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.
$S_Delta ABC=frac12bcsin A$ ,$S_Delta ABD=frac12cl_Asin fracA2$, $S_Delta ACD=frac12bl_Asin fracA2$
Mà $S_Delta ABC=S_Delta ABD+S_Delta ACDRightarrow l_A=frac2bcb+ccos fracA2$
b. $fraccos fracA2l_A=frac12left( fracb+cbc ight)=frac12b+frac12c$
Tương tự $fraccos fracB2l_B=frac12a+frac12c,fraccos fracC2l_C=frac12a+frac12b$
$Rightarrow fraccos fracA2l_A+fraccos fracB2l_B+fraccos fracC2l_C=frac1a+frac1b+frac1c$
c. Ta có $fraccos fracA2l_A+fraccos fracB2l_B+fraccos fracC2l_C
$Rightarrow frac1l_A+frac1l_B+frac1l_C>frac1a+frac1b+frac1c$
Câu 2 Cho tam giác ABC. Gọi $m_a,m_b,m_c$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, $m=fracm_a+m_b+m_c2$ . Chứng minh rằng $S_Delta ABC=frac34sqrtmleft( m-m_a ight)left( m-m_b ight)left( m-m_c ight)$
|
Giải
Gọi D là điểm đối xứng của A qua
trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành
Dễ thấy $S_Delta GBD=S_Delta GBC=S_Delta AGB=S_Delta AGC=frac13S_Delta ABC$
Mà $Delta GBD$có ba cạnh $frac23m_a,frac23m_b,frac23m_c$
$Rightarrow S_Delta GBD=left( frac23 ight)^2sqrtmleft( m-m_a ight)left( m-m_b ight)left( m-m_c ight)$
$Rightarrow S_Delta ABC=3S_Delta GBD=frac34sqrtmleft( m-m_a ight)left( m-m_b ight)left( m-m_c ight)$
Câu 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng $S_square ABCD=sqrt(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$ Với $P=fraca+b+c+d2$ |
Giải
Do ABCD nội tiếp nên
$sin widehatABC=sin widehatADC$
$cos widehatABC=-cos widehatADC$
$S_ABCD=S_ABC+S_ADC=frac12left( ab+cd ight)sin B$
$=frac12left( ab+cd ight)sqrt1-cos ^2B$
Trong tam giác $ABC$có $AC^2=a^2+b^2-2abcos B$
Trong tam giác $ADC$ có $AC^2=c^2+d^2-2cdcos D$
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng $fraca^2+b^2+c^22abc=fraccos Aa+fraccos Bb+fraccos Cc$ |
Giải
Ta có
$Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2accos B+2bccos A+2abcos C$
$Leftrightarrow fraca^2+b^2+c^22abc=fraccos Aa+fraccos Bb+fraccos Cc$
Câu 5: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có a. $cot A+cot B+cot C=fraca^2+b^2+c^2abcR$ b. $sin fracA2=sqrtfrac(p-b)(p-c)bc$ . |
Giải
a. Sử dụng định lí sin và cosin.
b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp
Ta có
Từ hình vẽ:
Từ (1) và (2) $fracleft( S_Delta ABC ight)^2p=(p-a) an fracA2bcsin fracA2 ext.cosfracA2 ext $
$Leftrightarrow fracp(p-a)(p-b)(p-c)p=bc(p-a)sin fracA2$
$Rightarrow sin fracA2=sqrtfrac(p-b)(p-c)bc$
Câu 6: Tam giác ABC có tính chất gì khi $S_Delta ABC=frac14left( a+b-c ight)left( a+c-b ight)$ |
Giải
Theo Hê rong $S_Delta ABC=sqrtleft( fraca+b+c2 ight)left( fraca+b-c2 ight)left( fraca-b+c2 ight)left( frac-a+b+c2 ight)$
$Rightarrow left( a+b-c ight)^2left( a+c-b ight)^2=left( a+b+c ight)left( a+b-c ight)left( a-b+c ight)left( -a+b+c ight)$
$Rightarrow left( a+b-c ight)left( a+c-b ight)=left( a+b+c ight)left( -a+b+c ight)Leftrightarrow b^2+c^2=a^2$ Tam giác ABC vuông tại A
Câu 7: Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: $fracrRle frac12$ |
Giải
Ta có
Mà $sqrt(p-a)(p-b)le frac2p-a-b2=fracc2$
$sqrt(p-a)(p-c)le frac2p-a-c2=fracb2$
$sqrt(p-b)(p-c)le frac2p-b-c2=fraca2$
Câu 8: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a. $fraccos ^2A+cos ^2Bsin ^2A+sin ^2Ble frac12left( cot ^2A+cot ^2B ight)$ b. $3Sge 2R^2left( sin ^3A+sin ^3B+sin ^3C ight)$ c. $sqrtp d. $S^2le frac116left( a^4+b^4+c^4 ight)$ |
Giải
a. BĐT $Leftrightarrow frac2-sin^2A+sin ^2Bsin ^2A+sin ^2Ble frac12left( frac1sin ^2A+frac1sin ^2B ight)-1$
$Leftrightarrow frac2sin ^2A+sin ^2Ble frac12left( frac1sin ^2A+frac1sin ^2B ight)$
$Leftrightarrow 4le left( frac1sin ^2A+frac1sin ^2B ight)left( sin ^2A+sin ^2B ight)$
b. $3Sge 2R^2left( sin ^3A+sin ^3B+sin ^3C ight)$
$Leftrightarrow frac3abc4Rle 2R^2left( fraca^38R^3+fracb^38R^3+fracc^38R^3 ight)$ $Leftrightarrow 3abcle a^3+b^3+c^3$
c. Từ $left( x+y+z ight)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$
$Rightarrow left( x+y+z ight)^2>x^2+y^2+z^2$
Nên x, y,z dương thì $x+y+z>sqrtx^2+y^2+z^2$ áp dung vào CM
+ $sqrtp-a+sqrtp-b+sqrtp-c>sqrtp-a+p-b+p-c=sqrtp$
+ $left( sqrtp-a+sqrtp-b+sqrtp-c ight)^2le 3left( p-a+p-b+p-c ight)=3p$
d.
$=frac116left< (b+c)^2-a^2 ight>left< a^2-(b-c)^2 ight>le frac116left< (b+c)^2-a^2 ight>a^2$
$=frac116left( b^2+c^2+2bc-a^2 ight)a^2le frac116left( 2b^2+2c^2-a^2 ight)a^2$
$=frac116left( 2b^2a^2+2c^2a^2-a^2 ight)le frac116(a^4+b^4+c^4)$
Câu 9: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $S_Delta ABC=frac14left( a^2sin 2B+b^2sin 2B ight)$ |
Giải
Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB
Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông,
+ B là góc tù
Giải
$left( a+b+c ight)^2le 3(a^2+b^2+c^2)$
$Rightarrow left( a+b+c ight)^4le 9left( a^2+b^2+c^2 ight)^2=9left( sqrtasqrta^3sqrtbsqrtb^3sqrtcsqrtc^3 ight)^2$
$le left( a+b+c ight)left( a^3+b^3+c^3 ight)$
$Rightarrow a^3+b^3+c^3ge fracleft( a+b+c ight)^49left( a+b+c ight)=frac19(a+b+c)^3=frac89p^3$ khi tam giác đều
Câu 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2le frac14r^2$ |
Giải
$a^2ge a^2-(b-c)^2Rightarrow frac1a^2le frac1a^2-(b-c)^2$
Tương tự $frac1b^2le frac1b^2-(c-a)^2,frac1c^2le frac1c^2-(a-b)^2$
Nên $frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2le frac1a^2-(b-c)^2+frac1b^2-(c-a)^2+frac1c^2-(a-b)^2$
$=frac1left( a-b+c ight)left( a+b-c ight)+frac1left( b-c+a ight)left( b+c-a ight)+frac1left( c-a+b ight)left( c+a-b ight)$
$=frac14left( p-b ight)left( p-c ight)+frac14left( p-c ight)left( p-a ight)+frac14left( p-a ight)left( p-b ight)$
$=fracp4(p-a)left( p-b ight)left( p-c ight)=fracp^24p(p-a)left( p-b ight)left( p-c ight)=fracp^24S^2=frac14r^2$
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho
A. – 6 B.<-frac132> C. – 12 D. <-frac152>
Câu 2: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
A. 13 B. 15
Câu 3: Cho tam giác ABC .Đẳng thức nào sai
A. Sin ( A+ B – 2C ) = sin 3C B.
C. Sin( A+B) = sinC D.
Câu 4:Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm . Tích
A. 13 B. 15 C. 17 D. Một kết quả khác .
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
Câu 6: Cho tam đều ABC cạnh a . Độ dài của
A. A
Câu 7: Cho tam giác đều cạnh a. Độ dài của
A.
Câu 8: Cho ba điểm A ( 1; 3) ; B ( -1; 2) C( -2; 1) . Toạ độ của vectơ
A. ( -5; -3) B. ( 1; 1) C. ( -1;2) D. (4; 0)
Câu 9: Cho ba điểm A ( 1;2) , B ( -1; 1) , C( 5; -1) . Cosin của góc (
Xem thêm: Hạt Lựu Có Ăn Lựu Có Tốt Không, 12 Lợi Ích Sức Khỏe Của Quả Lựu
A.-
Câu 10: Cho ba điểm A( -1; 2) , B( 2; 0) , C( 3; 4) . Toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là