Đồng biến, nghịch biến là một trong những tính chất quan trọng và được vận dụng rất nhiều trong khảo sát hàm số và được gọi chung là tính đơn điệu của hàm số. Nhằm giúp bạn đọc nắm vững kiến thức của chuyên đề này, fundacionfernandovillalon.com đã biên soạn bài học khá chi tiết giúp bạn đọc dễ dàng tóm gọn kiến thức và có thêm nhiều ví dụ để vận dụng vào các bài tập chương trình toán lớp 12.

Bạn đang xem: Hs đồng biến khi nào


Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào?

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y = f(x) là một hàm số xác định trên K.


+ Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀ x1, x2 ∊ f (x1) 2)

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀ x1, x2 ∊ f (x1) > f (x2)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

Nhận xét 1

Nếu hàm số f(x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f(x) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f(x) – g(x)

Nhận xét 2

Nếu hàm số f(x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f(x)․g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f(x) và g(x) không là các hàm số dương trên D.

Nhận xét 3

Cho hàm số u = u(x) xác định với x ∊ (a;b) và u(x) ∊ (c;d). Hàm số f cũng xác định với x ∊ (a;b). Ta có nhận xét sau:

Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm số f đồng biến với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) đồng biến với u(x) ∊ (c;d)

Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm số f nghịch biến với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) nghịch biến với u(x) ∊ (c;d)

Định lí 1

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ KNếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K

Định lí 2.

Xem thêm: Đặc Điểm Nào Của Bộ Xương Người Thích Nghi Với Tư Thế Đứng Thẳng Và Đi Bằng Hai Chân

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu f’(x) > 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f đồng biến trên K.Nếu f’(x) Nếu f’(x) = 0, ∀ x ∊ K thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn và f’(x) > 0, ∀ x ∊ (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn . Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau:

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)

Tài liệu về hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Các dạng toán về tính đồng biến nghịch biến của hàm số
Số trang59
Tác giảThầy Nguyễn Bảo Vương
Lời giải chi tiếtCó

Mục lục tài liệu:

– Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị

– Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước

– Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó

– Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước

– Dạng 5. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước

– Dạng 6. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước

– Dạng 7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u) khi biết đồ thị hàm số f"(x)

– Dạng 8: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u)+g(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x)