Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau oxyz

Bài viết trình bày công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz và hướng dẫn áp dụng công thức giải một số bài tập trắc nghiệm liên quan.

Bạn đang xem: Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau oxyz

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ có phương trình: $d_1:left{ eginarray*20lx = x_1 + a_1t\y = y_1 + b_1t\z = z_1 + c_1tendarray ight.$ và $d_2:left{ eginarray*20lx = x_2 + a_2t’\y = y_2 + b_2t’\z = z_2 + c_2t’endarray ight.$ $left( t;t’ in R ight).$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ theo một trong các cách sau:Cách 1:

+ Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương $vec a_1$ của $d_1$, $vec a_2$ của $d_2.$+ Bước 2: Xác định các điểm $M_1 in d_1$, $M_2 in d_2.$+ Bước 3: Lúc đó $dleft( d_1;d_2 ight)$ $ = frac left< vec a_1,vec a_2 ight>.overrightarrow M_1M_2 ight left< vec a_1,vec a_2 ight> ight.$Cách 2:

+ Bước 1: Gọi $H in d_1$, $K in d_2$ (lúc này $H$, $K$ có toạ độ phụ thuộc ẩn $t$, $t’$).+ Bước 2: Xác định $H$, $K$ dựa vào:$left{ eginarray*20lHK ot d_1\HK ot d_2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec a_1 = 0\overrightarrow HK .vec a_2 = 0endarray ight..$+ Bước 3: Lúc đó: $dleft( d_1;d_2 ight) = HK.$Nhận xét: Trong nhiều bài toán yêu cầu viết phương trình đường vuông góc chung thì nên sử dụng cách 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNGVí dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = sqrt 3 .$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = fracleft left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = sqrt 3 .$Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ và $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 3 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng $Delta _1$ và $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = frac left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = sqrt 3 $ $ Rightarrow MN_min = sqrt 3 .$Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = 3.$B. $left( x + frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + left( z + frac32 ight)^2 = frac34.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Rightarrow $ mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow HK = sqrt 3 .$Mặt cầu cần tìm có tâm $Ileft( frac32;frac12;frac32 ight)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = fracHK2 = fracsqrt 3 2$ có phương trình: $(S):left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $vec u(1;a;b)$ $(a;b in R)$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ và $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính tổng $S = a + b.$A. $S=2.$B. $S=-2.$C. $S=4.$D. $S=-4.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tìm đoạn vuông góc chung).Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1).$Đường vuông góc chung có vectơ chỉ phương dạng $moverrightarrow HK $ $(m in R,m e 0)$, từ giả thiết suy ra $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Cách 2:Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Do $vec u(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng $Delta _1$ và $Delta _2$ suy ra:$left{ eginarray*20lvec u.vec u_1 = 0\vec u.vec u_2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l – 1 + 2a – b = 0\2 – a – b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 1\b = 1endarray ight.$ $ Rightarrow vec u = (1;1;1).$Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz + 1 – 2.$D. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau.Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;1; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4;2;1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 1 – t\y = t\z = 1 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 2 + 4k\y = – 1 + 2k\z = – 1 + kendarray ight..$Gọi $H(1 – t;t;1 – t) in Delta _1$, $K(2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(1;0;1)$, $K(2; – 1; – 1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1; – 1; – 2).$Đường vuông góc chung cần tìm là đường thẳng qua $H(1;0;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1; – 1; – 2)$, có phương trình: $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = 3.$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = frac overrightarrow AB .left< vec u_1,vec u_2 ight> ightleft = 3.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$C. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz + 12.$D. $fracx – 11 = fracy – 22 = fracz – 22.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau.Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2).$Đường vuông góc chung cần tìm là đường thẳng qua $H(2;1;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1;2;2)$, có phương trình: $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $3.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng $Delta _1$ và $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = fracleft left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = 3$ $ Rightarrow MN_min = 3.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$B. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$C. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac92.$D. $left( x + frac52 ight)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$, suy ra mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow HK = 3.$Mặt cầu cần tìm có tâm $Ileft( frac52;2;2 ight)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = fracHK2 = frac32$ có phương trình: $(S):left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$Chọn đáp án B.

Xem thêm: Tìm Hiểu Chi Tiết Văn Bản 2 Đứa Trẻ (Thạch Lam), Hai Đứa Trẻ

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 41$ và trục $Oy.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta $ và $Oy$ chéo nhau.Đường thẳng $Delta $ có một vectơ chỉ phương là $vec u_Delta = (2;1; – 1).$Đường thẳng chứa trục $Oy$ có một vectơ chỉ phương là $vec u = (0;1;0).$Chọn $O(0;0;0) in Oy$, $A(1;0; – 4) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow OA = (1;0; – 4).$Lúc đó: $d = fracleft = frac7sqrt 5 5.$Chọn đáp án C.

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN1. ĐỀ BÀICâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, Delta_2: fracx-12=fracy-1=fracz-1-1A. $fracx – 11 = fracy – 12 = fracz – 11.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx + 11 = fracy1 = fracz + 11.$D. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 11.$

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$ và $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 6 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac34.$B. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 4 – 1$ và trục $Oy.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $frac7sqrt 5 5.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac2sqrt 5 5.$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $Delta :fracx + 11 = fracy – 2 = fracz + 22$ và trục $Oz.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = frac2sqrt 5 5.$

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD.$A. $d = frac2sqrt 11 11.$B. $d = fracsqrt 51 51.$C. $d = frac8sqrt 51 51.$D. $d = frac2sqrt 15 11.$

Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $CM$ và $AN.$A. $d = frac2sqrt 6 3.$B. $d = fracsqrt 6 3.$C. $d = fracsqrt 6 6.$D. $d = fracsqrt 2 2.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa đường thẳng $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$