Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 11

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian và phương pháp xác định khoảng cách giữa chung. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan Khoảng cách, trọng tâm là xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Bạn đang xem: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 11

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, đến một mặt phẳng

1.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

1.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

1.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 5 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềkhoảng cách

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao vềkhoảng cách

4.Hỏi đáp vềbài 5 chương 3 hình học 11

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P)).

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó khoảng cách giữa a và blà độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

"KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN"

Cho mặt phẳng (left (alpha ight )), điểm A không thuộc mặt phẳng (left (alpha ight )), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha ight )), E là điểm thuộc AM sao cho:(fracMEMA = k.)

a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (left (alpha ight )).

b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (left (alpha ight )), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM đến mặt phẳng (left (alpha ight )).

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng(left (alpha ight )). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng (left (alpha ight )).

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (left (alpha ight )). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (left (alpha ight )).

Hướng dẫn giải:

a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha ight )) nên: d(A,(left (alpha ight ))) = AH = h.

b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng (left (alpha ight )).

Khi đó: d(E, (left (alpha ight ))) = EP.

Ta có: EP // AH (đều vuông góc với mp (left (alpha ight ))) và M, P, H thẳng hàng.

Theo định lí Tallet ta có:

(fracEPAH = fracMEMA=k)

Khi đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).

Vì I là trung điểm của AM nên:

(d(I,left( alpha ight)) = frac12.h)(áp dụng kết quả (1) với (k=frac12)).

c) Ta có: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC

Do đó:(d(J,left( alpha ight)) = d(I,left( alpha ight)) = frac12.h.)

d) D là trung điểm của JC nên(fracCDCJ=frac12.)

Suy ra:(d(Q,left( alpha ight)) = frac12d(J,left( alpha ight)) = frac12.frac12.h = frac14.h).

Ví dụ 2:

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB) (ot)(SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có:(SA ot (ABC)).

Suy ra (SA ot BC)(1).

Mà (AB ot BC)(giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra:(BC ot (SAB)Rightarrow (SBC) ot (SAB).)

b) Ta có:((SAB)cap (SBC)=SB).

Kẻ(AH ot SB (Hin SB).)

Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.

Khi đó:(AH ot (SBC))nên(d(A, (SBC))=AH).

Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

(frac1AH^2 = frac1AS^2 + frac1AB^2 = frac1a^2 + frac1a^2 Rightarrow AH = fracasqrt 2 2.)

c) Ta có:(ABcap (SBC)=B)và(fracBIBA=frac12)(do I là trùng điểm của AB) nên:

(d(I,(SBC)) = frac12d(A,(SBC)) = frac12.fracasqrt 2 2 = fracasqrt 2 4.)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD =(asqrt2). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Ta có (AOcap (SBC)=C)và (fracCOCA=frac12), do đó:

d(A,(SBC)) = 2.d(O,(SBC)).

Xem thêm: Vợ Yêu Giá Trên Trời: Phu Nhân Tổng Tài Đừng Hòng Chạy, Vợ Trước Giá Trên Trời Của Tổng Giám Đốc

(SO ot (ABCD))nên(SO ot BC)

Kẻ (SI ot BC)thì I là trung điểm của BC.

Suy ra:(BC ot (SOI)Rightarrow (SBC)ot (SOI))

((SBC)cap (SOI)=SI)

Kẻ(OI ot SI (Hin SI).)Khi đó(d(O,(SBC)) = OH)

Xét tam giác SOI vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

(frac1OH^2 = frac1OJ^2 + frac1OS^2)mà(OJ = frac12.a;,,SO = sqrt SC^2 - CO^2 = fracasqrt 6 2)