Star

Giả sử ta có một số $b$ bị kẹp giữa hai số $a$ và $c$ như sau,

$$a leq b leq c$$

Nếu $a$ và $c$ cùng bằng một số $ extL$ nào đó, bởi vì $b$ bị kẹp giữa $a$ và $c$ nên ta có thể suy ra được $b$ cũng bằng $ extL$, điều này là hoàn toàn hợp tình hợp lý.

Giả sử $b = lim_x o 0 fracsin xx$, ta không thể tính trực tiếp $b$ khi $x o 0$ được, ta cần tìm ra hai giới hạn $a$ và $c$ để kẹp giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi sau đó đi tính $a$ và $c$, đó là ý tưởng của bài toán này, làm thế nào để tìm $a$ và $c$, ta sẽ phải dựa vào tính chất của các góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị.

Tại sao phải dựa vào chúng? Bởi vì chúng ta đã có công thức liên hệ giữa góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị, ta chỉ cần tìm ra mối quan hệ giữa chúng, rồi sau đó có thể áp dụng định lý kẹp.

Đầu tiên mình sẽ đi tìm mối quan hệ giữa chúng trước, nhìn bằng mắt thường vào hình ở trên, ta nhận thấy rằng đâu đó diện tích tam giác $ extOAC$ có vẻ như nhỏ hơn diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$, và diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$ lại nhỏ hơn diện tích tam giác ngoài $ extOBC$, nghĩ thầm ta có thể áp dụng được định lý kẹp ở chỗ này, việc còn lại là cố gắng đưa nó về công thức góc lượng giác thử xem.

Gọi $ heta$ (thay thế cho $x$) là góc được tạo bởi bán kính đường tròn $ extOA$ và $ extOC$, ta có:

$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$

Mà trong đường tròn đơn vị, độ dài bán kính luôn bằng $1$, tức là $ extOA = extOC = 1$, vậy:

$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$

Khi nói $ heta$ tiến tới $0$, tức là $ heta$ có thể tiến từ số dương (vùng I) về $0$, cũng có thể tiến từ số âm (vùng IV) về $0$, vậy để đảm bảo độ dài $ extAD$ luôn đúng, ta cần thêm dấu giá trị tuyệt đối,

$$ extAD = |sin heta|$$

Có độ dài đoạn $ extAD$, ta có thể tính diện tích tam giác $ extOAC$ bằng,

$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = frac2$$

Tiếp theo, ta cần tính diện tích cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung có đường màu vàng), ta biết rằng cả một hình tròn đơn vị sẽ có hệ số góc là $2 pi$ radian và có diện tích là $1 pi$ radian, vậy một phần nhỏ của hình tròn (tức là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ được tính bằng cách lấy hệ số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ chia cho cả hệ số góc của hình tròn sau đó nhân với diện tích của nó đúng không nào.

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$

Tương tự với lí do như trên, ta cần phải thêm giá trị tuyệt đối vào $ heta$,

$$S_stackrelfrown extOAC = frac2$$

Tiếp theo, tính diện tích của tam giác $ extOBC$, ta cần tính độ dài cạnh $BC$ với,

$$ an heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = an heta cdot extOC = an heta cdot 1 = an heta$$

Suy ra diện tích tam giác $ extOBC$ bằng:

$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot an heta = frac an heta2$$

Tương tự với lí do như trên, ta cần phải thêm giá trị tuyệt đối vào $ an heta$,

$$S_ extOBC = frac2$$

Dựa vào hình trên, ta có thể đưa ra một bất đẳng thức xác định rằng diện tích tam giác $ extOAC$ luôn nhỏ hơn diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$ và luôn nhỏ hơn diện tích tam giác $ extOBC$, hay,

$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$

Thế các kết quả tính diện tích vào, ta có,

$$frac2 leq frac2 leq frac an heta2$$

Bây giờ làm thế nào để biểu thức ở giữa trở thành $fracsin heta heta$ để áp dụng định lý kẹp thì quá tuyệt vời, đó là điều chúng ta mong muốn. Đầu tiên, nhân mỗi biểu thức trong bất đẳng thức cho $2$ với mục đích để khử số $2$ đi, ta được,

$$|sin heta| leq | heta| leq | an heta|$$

Khai triển $| an heta|$, ta có,

$$|sin heta| leq | heta| leq fraccos heta$$

Tiếp tục chia mỗi biểu thức trong bất đẳng thức cho $|sin heta|$, ta được,

$$fracsin heta leq frac heta leq fracleft( fraccos heta ight)sin heta$$

Rút gọn một xíu,

$$1 leq fracsin heta leq frac1cos heta$$

Thực hiện đảo ngược tử số và mẫu số của từng biểu thức trong bất đẳng thức, khi đảo ngược, dấu của bất đẳng thức sẽ thay đổi,

$$1 geq fracsin heta heta geq |cos heta|$$

Bây giờ xét dấu của giá trị tuyệt đối,

Đối với biểu thức $fracsin heta$, khi $ heta$ tiến từ vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn sẽ dương, khi $ heta$ tiến từ vùng âm (vùng IV) về $0$, kết quả sẽ bằng $frac-sin heta- heta$ chắc chắn cũng sẽ dương.

Đối với biểu thức $|cos heta|$, khi $ heta$ tiến về $0$ là các giá trị nằm trên trục $Ox$, tức là đoạn thẳng $ extOC$, cho nên kết quả $cos heta$ luôn luôn dương.

Xem thêm: Tiếng Việt Lớp 5: Luyện Từ Và Câu Lớp 5 Từ Đồng Âm Trang 51, 52

Vậy, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối đi,

$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$

Lưu ý, biểu thức trên chỉ đúng trong miền giá trị từ $fracpi2$ đến $frac-pi2$, tức là trong vùng I và vùng IV của đường tròn đơn vị, bởi vì $ heta$ tiến tới $0$ cho nên nó chỉ nằm trong 2 vùng này, chúng ta không cần xét thêm hai vùng còn lại kia.

Bây giờ, đã đến lúc thêm giới hạn vào các biểu thức con trong bất đẳng thức trên,

$$lim_ heta o 0 1 geq lim_ heta o 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$

Ta có,

Đã đến lúc sử dụng định lý giới hạn kẹp, bởi vì $lim_ heta o 0 fracsin heta heta$ bị kẹp giữa hai giới hạn $lim_ heta o 0 1$ và $lim_ heta o 0 cos heta$, mà chúng ta đã tính được kết quả ở 2 giới hạn kẹp cùng đều bằng $1$, cho nên giới hạn ở giữa chắc chắn cũng sẽ bằng $1$,