Gọi G và G" lần lượt là trọng tâm hai tam giác ABC và tam giác A"B"C" cho trước.

Bạn đang xem: Những bài toán hình khó lớp 7

Chứng minh rằng : GG"

Câu 4:

Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia

AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.

a) Chứng minh rằng : BE = CD.

b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.

c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC

thẳng DE

Câu 6:

Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.

c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

Câu 7:

Cho tam giác vuông ABC: , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho

 CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.

Chứng minh: AE = BC.

Câu 8:

Cho tam giác ABC nhọn có đường phân gác trong AD. Chứng minh rằng:

$AD=frac2.AB.AC.cos fracA2AB+AC$

Câu 12:

Cho tam giác ABC dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 600, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.

Câu 13:

Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi A", B", C" là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H, vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng của d qua các cạnh của DABC đồng quy tại một điểm trên (O).

Câu 14:

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I là trung điểm của mỗi đường.

Câu 15:

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.

a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.

b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.

c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.

Lời giải chi tiết

Câu 2:

Gọi M,M",I,I" theo thứ tự trung điểm BC;B"C";AG;A"G" . Ta có:

Vậy

*

Câu 4:

Để cm BE = CD

$Uparrow $

Cần cm ABE = ADC (c.g.c)

*

Để cm M, A, N thẳng hàng.

$Uparrow $

Cần cm

$Uparrow $

$Rightarrow $ Cần cm

Để cm

$Uparrow $

Cần cm ABM = ADN (c.g.c)

Gọi là giao điểm của BC và Ax

$Rightarrow $ Để cm BH + CK BC

$Uparrow $

Cần cm

Vì BI + IC = BC

BH + CK có giá trị lớn nhất = BC

khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC

 Câu 6:

*

a) Để cm DM = EN

$Uparrow$

Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)

$Uparrow$

Có BD = CE (gt) , $widehatD=widehatE=90^0$ ( MD, NE$ot$BC)

$widehatBCA=widehatCBA$( ∆ABC cân tại A)

Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung

 điểm I của MN $Rightarrow$ Cần cm IM = IN

$Uparrow$

Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I $Rightarrow$ Cần cm O là điểm cố định

Để cm O là điểm cố định

$Uparrow$

Cần cm OC $ot$ AC

$Uparrow$

Cần cm $widehatOAC=widehatOCN=90^0$

$Uparrow$

Cần cm : $widehatOBA=widehatOCA$ và $widehatOBM=widehatOCM$

$Uparrow$

Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)

Câu 7:

*

Cho tam giác vuông ABC: , đường cao AH, trung tuyến AM.

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA.

Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho

 CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song

 với AC cắt đường thẳng AH tại E.

Chứng minh: AE = BC.

a) Ta có :

Suy ra

Mặt khác : : vuông cân

( CH -CGV)

hay CJ là phân giác của hay vuông cân tại J.

Nên AJ = AC

Câu 8:

SABD+SACD=SABC

*

Câu 12:

*

Xét các tam giác bằng nhau

* Chứng minh AN = MC = BP

Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)

( cùng bằng <60^0+widehatABC> )

*

Tương tự:

*

AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)

*

⇒ BP = MC (**)

Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm).

 * Chứng minh

*

Trong  ∆APC có $oversetscriptscriptstylefrownA_1+oversetscriptscriptstylefrownC_2+oversetscriptscriptstylefrownP_1+oversetscriptscriptstylefrownP_2=180^0$ mà $oversetscriptscriptstylefrownP_1=oversetscriptscriptstylefrownC_1$

Trong  ∆PCK có $oversetscriptscriptstylefrownC_1+oversetscriptscriptstylefrownC_2+oversetscriptscriptstylefrownP_2+oversetscriptscriptstylefrownK_2=180^0$

⇒ $60^0+(oversetscriptscriptstylefrownC_1+oversetscriptscriptstylefrownP_2)+oversetscriptscriptstylefrownK_2=180^0$ ⇒ <60^0+60^0+widehatK_2=180^0Rightarrow widehatK_2=60^0> (1)

 Tương tự: ∆ ABN = ∆ MBC ⇒

 ⇒ ∆ NKC có (2)

 Tương tự: ∆ AC N = ∆ PCB ⇒ 

⇒ Trong ∆ AKP có (3)

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh

* Chứng minh AN. MC, BP đồng quy

 Giả sử MC Ç BP = K ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng

Theo chứng minh trên ta có:

⇒ A,K,N thẳng hàng <>

Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm)

Câu 13:

*

Gọi I là giao của d1 và d2

Chứng minh tứ giác A"B"C"I là tứ giác nội tiếp. Suy ra A"B"C"I là nội tiếp (O).

Chứng minh I thuộc d3.

Xem thêm: Bài 2 Trang 16 ( Luyện Tập Chung Trang 16 Lớp 5 Trang 16 Sgk Toán 5

Câu 14:

*

Chứng minh PEDQ, PRDF là hình chữ nhật ⇒ PD, QE, RF là đường chéo của 2 hình chữ nhật đó Þ đpcm.