5. Bài tập Luyện tập

Bài tập 1:

Cho hình lăng trụ ABC.A"B"C" có đáy ABC là tam giác đều cạnh(2asqrt2)và(AA"=asqrt3).Hình chiếu vuông góc của điểm A" trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C" và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB"A".

Bạn đang xem: Ôn tập khối đa diện

Lời giải:

*

Tính(V_ABC.A"B"C").

Ta có(A"G ot left( ABC ight) Rightarrow A"G)là chiều cao của lăng trụ ABC.A"B"C".

Diện tích tam giác đều ABC là:(S_ABC = AB^2.fracsqrt 3 4 = 2a^2sqrt 3).

Gọi M là trung điểm của BC, ta có:(AM = BC.fracsqrt 3 2 = 2asqrt 2 .fracsqrt 3 2 = asqrt 6).

(AG = frac23AM = frac2asqrt 6 3).

Trong(Delta A"GA) vuông tại G, ta có:

(A"G = sqrt A"A^2 - AG^2 )

(= sqrt 3a^2 - frac83a^2 = fracasqrt 3 3).

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C" là:

(V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"G = 2a^3)

Tính(dleft( C,left( ABB"A" ight) ight))

Gọi N là trung điểm của AB.

Trong(Delta A"GN), kẻ(GH ot A"N).

Chứng minh được(GH ot left( ABB"A" ight))tại H.

Suy ra(dleft( G,left( ABB"A" ight) ight) = GH).

Ta có:

(CN = AM = asqrt 6),

(GN = frac13CN = fracasqrt 6 3).

(frac1GH^2 = frac1A"G^2 + frac1GN^2 = frac3a^2 + frac96a^2= frac92a^2)

(Rightarrow GH = fracasqrt 2 3).

Do đó(dleft( G,left( ABB"A" ight) ight) = GH = fracasqrt 2 3).

Vậy:

(dleft( C,left( ABB"A" ight) ight) )

( = 3dleft( G,left( ABB"A" ight) ight) = asqrt 2 ).

Bài tập 2:

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B,(AB = a , widehat ACB = 60^0, SAperp (ABC)). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng(fraca2).

Lời giải:

Tính thể tích khối chóp S.ABC:

(eginarray*20leginarraylleft{ eginarray*20lSA ot (ABC) Rightarrow BC ot SA\BC ot ABendarray ight.\Rightarrow BC ot (SAB)endarray\ Rightarrow (SBC) ot (SAB).endarray)

Kẻ AH vuông góc SB ((H in SB))suy ra:

(AH ot (SBC) Rightarrow AH = fraca2.)

(BC = fracAB an 60^0 = fracasqrt 3 3.)

(frac1AH^2 = frac1AB^2 + frac1SA^2 Rightarrow SA = fracasqrt 3 3.)

Diện tích tam giác ABC là:(S_Delta ABC=fraca^2sqrt36).

Vậy thể tích khối chóp là:(V_S.ABC=fraca^318.)

Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

Kẻ(BI ot AC;,,IK ot SC.)

Ta có:

(eginarraylleft{ eginarray*20lBI ot AC\BI ot SAendarray ight. Rightarrow BI ot (SAC)\Rightarrow SC ot BI,,,left( 1 ight)endarray)

Mặt khác:(IK ot SC)(2)

(SC ot (BIK) Rightarrow BK ot SC.)Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là(widehatIKB).Xét các tam giác vuông ABC và SBC ta tính được độ dài các đường cao:(BI=fraca2;BK=frac2asqrt1515).Xét tam giác BIK vuông tại I ta có:(IK=fracasqrt1530;coswidehatIKB=frac14).

Xem thêm: Hình Lăng Trụ Đứng Là Gì ? Tính Chất Hình Hộp Và Hình Chóp Cụt

Bài tập 3:

Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn:(SA = 2SM,SB = 3SN;)

(SC = 4SP;SD = 5SQ.)Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ.

Lời giải:

*

Ta có:(V_SMNPQ = V_SMQP + V_SMNP)

Và:(V_SADC = V_SQBC = frac12V_S.ABCD)

Mặt khác:

(eginarray*20leginarraylfracV_S.MQPV_S.ADC = fracSQSD.fracSMSA.fracSPSC\= frac15.frac12.frac14 = frac140endarray\eginarraylRightarrow V_S.MQP = frac140.V_S.ADC\= frac180.V_S.ABCDendarrayendarray)

(eginarray*20leginarraylfracV_S.MNPV_S.ABC = fracSMSA.fracSPSC.fracSNSP\= frac12.frac14.frac13 = frac124endarray\eginarraylRightarrow V_S.MNP = frac124V_S.ABC\= frac148.V_S.ABCDendarrayendarray)

(Rightarrow V_SMNPQ = left( frac180 + frac148 ight)V_S.ABCD = frac85)