a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế.

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số chuẩn 100%

b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn

*
. Khi đó phương trình thứ nhất có dạng
*
, phương trình này cho phép tính được 
*
.

c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là

*
. Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số 
*

d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới 

*
(với
*
là các ẩn). Ta sẽ tìm
*
để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo
*
mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải :

Đặt

*
. Hệ trở thành : 

*

Để thu được hệ đẳng cấp thì các hệ số theo

*
phải bằng
*
. Tức là chọn
*
sao cho :

*

Vậy ta có hệ 

*
.

Dễ dàng giải được hệ này. 

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình đã cho là 

*

2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.

a) Hệ phương trình đối xứng loại I.

Dạng tổng quát 

*
với
*
là các đa thức đối xứng $x,y$.

Cách giải chung là đặt ẩn phụ

*
.

b) Hệ phương trình đối xứng loại II

Dạng tổng quát 

*
với
*
là một đa thức không đối xứng. 

Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung

*
.

c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.

Dạng tổng quát 

*

Trong đó

*
là các biểu thức đối xứng theo
*
. 

Cách giải chung là tìm cách đưa về các ẩn mới

*
và sử dụng định lí
*
đảo cho phương trình bậc ba :

Nếu ba số

*
thỏa mãn
*
thì chúng là ba nghiệm của phương trình
*
.

3. Hệ phương trình hoán vị.

Dạng tổng quát 

*

Với

*
thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)

Một số định lí :

a) Nếu

*
là các hàm đồng biến trên
*
và
*
là nghiệm (trên
*
) của hệ thì
*
.

b) Nếu

*
là các hàm nghịch biến trên
*
và
*
là nghiệm (trên
*
) của hệ thì với
*
lẻ, ta có
*
.

c) Nếu

*
nghịch biến và
*
đồng biến trên tập
*
là
*
là nghiệm (trên
*
) của hệ thì với
*
chẵn, ta có
*
và
*
.

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải :

Ta có 

*
1" class="latex" />, suy ra
*
1" class="latex" />. Tương tự
*
1" class="latex" />.

Gỉa sử 

*
. Xét hàm
*
, dễ dàng thấy hàm này đồng biến trên 
*
.

Vì 

*
.

Suy ra 

*
, từ đó
*
.

Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất

*

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :

Nếu hàm số

*
luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì số nghiệm của phương trình
*
không nhiều hơn
*
và 
*

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải :

Nhận xét rằng

*
không là nghiệm của hệ. Ta xét 
*
. Dễ thấy hàm số
*
đồng biến trên 
*

Phương trình thứ nhất có thể viết thành : 

*

Thay vào phương trình sau : 

*

Nếu

*
1" class="latex" /> thì rõ ràng 
*
6" class="latex" />

Nếu

*

Vậy

*

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là 

*

5. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải :

Điều kiện 

*

Cộng vế theo vế hai phương trình : 

*

Trừ vế theo vế hai phương trình : 

*

Vậy nếu ta đặt 

*
0,\sqrt\dfrac1-y1+y=b>0" class="latex" />

Thì ta có hệ 

*

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.

6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*
\dfracxy+\sqrt<3>\dfracyx=\sqrt<3>2(x+y)\left ( \dfrac1x+\dfrac1y \right ) \endmatrix\right." class="latex" />

Lời giải :

“Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.

Điều kiện

*
0" class="latex" />

Đặt 

*
\dfracxy=a>0,\sqrt<3>\dfracyx=b>0" class="latex" /> (ta có
*
) thì phương trình thứ hai trở thành : 
*
2(2+a^3+b^3)\Leftrightarrow 2(a^3+b^3)+4=(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\Leftrightarrow a^3+b^3+4=3(a+b)" class="latex" />

Nhưng theo BĐT

*
ta có 
*

Đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi

*
, tức
*
.

Kết luận : Nghiệm của hệ đã cho là 

*

7. Phương pháp biến đổi đẳng thức.

a) Đưa về phương trình tích.

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải :

Trừ

*
và
*
vế theo vế : 
*

Trừ

*
và
*
vế theo vế : 
*

Từ

*
thì có 
*

Thay vào

*
ta được hệ đẳng cấp 
*
.

Ta dễ dàng giải được hệ này.

b) Đưa về phương trình thuần nhất.

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải :

Nhận thấy vế trái của

*
có bậc ba và vế phải của
*
có bậc
*
. Để đưa
*
thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc
*
.

Để ý rằng từ

*
ta có 
*

Thay vào

*
: 
*

Dễ dàng giải tiếp hệ này.

8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác)

Xem tại đây

9. Phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải :

Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia. 

Nhân

*
với
*
rồi cộng với
*
: 

*

Coi đây là một phương trình bậc hai ẩn

*
, để tính được
*
theo
*
thì 
*
=(-4a^2+4a+9)y^2-(6a+4)y+13a^2+8a-4" class="latex" /> phải là một bình phương đúng.

Muốn vậy thì phương trình 

*
phải có nghiệm kép 
*

Vậy lấy phương trình

*
nhân với
*
và cộng vế với phương trình
*
thì thu được :
*

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn

*
thì 
*

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình ban đầu là 

*

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Xem lời giải tại đây.

Xem thêm: About The Cos - C Library Function

Ví dụ : Giải hệ phương trình 

*

Lời giải : 

Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là

*
.