Cách xác định số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa trên công thức tính nhanh
Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết
Trong khoá học PRO X các em đã được tiếp cận cách xác định số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối dựa trên cách suy đồ thị và bảng biến thiên. Ở bài viết này trình bày cho các em công thức tính nhanh:
Nội dung lý thuyết và ví dụ các bài toán trong bài viết này được trình bày tại khoá học PRO XMAX bạn đọc tham khảo thêm tại đây:https://www.fundacionfernandovillalon.com/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2020-mon-toan-kh646448377.html
Nhận xét:
Số điểm cực trị của hàm số $left| f(x)
ight|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ và số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình $f(x)=0.$ Hay cách khác bằng tổngsố điểm cực trị của hàm số $f(x)$.
Bạn đang xem: Số điểm cực trị của hàm số
Số điểm cực trị của hàm số $fleft( left| x ight| ight)$ bằng $2a+1,$ trong đó $a$ là số điểm cực trị dương của hàm số $f(x).$
Đặc biệt với hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2.$ Khi đó hàm số $y=left| f(x) ight|$ có $n$ điểm cực trị
$n=5Leftrightarrow f_cd.f_ct$n=3Leftrightarrow f_cd.f_ctge 0.$
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba $y=fleft( x
ight)$có đồ thị của hàm đạo hàm $f"left( x
ight)$ như hình vẽ và $fleft( b
ight)=1$.
Số giá trị nguyên của $min left< -5;5 ight>$ để hàm số $gleft( x ight)=left| f^2left( x ight)+4fleft( x ight)+m ight|$ có đúng 5 điểm cực trị là
A. $8$.
B. $10$.
C. $9$.
D. $7$.
Lời giải chi tiết.Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=fleft( x ight)$:
Xét hàm số $hleft( x ight)=f^2left( x ight)+4fleft( x ight)+m$.
Ta có $h"left( x ight)=2f"left( x ight)fleft( x ight)+4f"left( x ight)=2f"left( x ight)left< fleft( x ight)+2 ight>$.
Khi đó $h"left( x ight)=0Rightarrow 2f"left( x ight)left< fleft( x ight)+2 ight>=0Leftrightarrow left< egingatheredhfill f"left( x ight)=0 \ hfill fleft( x ight)=-2 \ endgathered ight.Leftrightarrow left< egingatheredhfill x=a;,x=b \ hfill x=c,,left( c,,langle ,,a ight) \ endgathered ight.$.
Vậy $h"left( x ight)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt $Rightarrow $$hleft( x ight)$có $3$ điểm cực trị.
Xét $hleft( x ight)=0$$Leftrightarrow f^2left( x ight)+4fleft( x ight)=-m,,left( * ight)$.
Để $gleft( x ight)=left| hleft( x ight) ight|$có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi PT $left( * ight)$có $2$ nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt.
Xét hàm số $tleft( x ight)=f^2left( x ight)+4fleft( x ight)$.
Ta có $t"left( x ight)=2.fleft( x ight).f"left( x ight)+4f"left( x ight)=2f"left( x ight)left< fleft( x ight)+2 ight>$.
Khi đó $t"left( x ight)=0Leftrightarrow 2f"left( x ight)left< fleft( x ight)+2 ight>=0Leftrightarrow left< egingatheredhfill f"left( x ight)=0 \ hfill fleft( x ight)=-2 \ endgathered ight.$$Leftrightarrow left< egingatheredhfill x=a;,x=b \ hfill x=c,,left( c,,langle ,,a ight) \ endgathered ight.$.
Ta có $tleft( c ight)=f^2left( c ight)+4fleft( c ight)=left( -2 ight)^2-8=-4.$ $tleft( b ight)=f^2left( b ight)+4fleft( b ight)=5.$
Ta có bảng biến thiên của $tleft( x ight)$:
Từ YCBT $Leftrightarrow tleft( x ight)=-m$ có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt
$Leftrightarrow left{ egingatheredhfill left< egingatheredhfill -mge tleft( a ight)>5 \ hfill -4
Bài tập tự luyện:
Câu 14.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=left| x^4-x^3-5x^2+m ight|$ có 7 điểm cực trị.| A. $8.$ | B. $9.$ | C. $3.$ | D. $4.$ |
| A. $m | B. $m | C. $-1 | D. $m |
| A. $a=0.$ | B. $ale 1.$ | C. $1 | D. $a>3.$ |
| A. $left( -infty ;frac14 ight)cup (1;+infty ).$ | B. $left( -frac12;frac14 ight)cup (1;+infty ).$ | C. $(1;+infty ).$ | D. $left( 0;frac14 ight)cup (1;+infty ).$ |
Xem thêm: Cấu Trúc Và Cách Dùng Của Các Dạng Câu So Sánh As As E Wait, Các Dạng Câu So Sánh Trong Tiếng Anh
Cho hàm số $f(x)=x^3-(2m-1)x^2+(2-m)x+2.$ Tìm tập hợp giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=fleft( left| x ight| ight)$ có năm điểm cực trị.
| A. $-frac54 | B. $frac54 | C. $frac12 | D. $-2 |