Tìm Cực Trị Của Hàm Số Chứa Căn

Bài viết hướng dẫn tìm cực trị của hàm số thông qua các bước giải cụ thể và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, các ví dụ được chọn lọc với nhiều dạng bài khác nhau như: cực trị hàm đa thức, cực trị hàm chứa căn, cực trị hàm chứ dấu giá trị tuyệt đối, cực trị hàm lượng giác …

Phương phápĐể tìm cực trị của hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước sau đây:+ Tìm tập xác định $D$ của hàm số $f$.+ Tính $f’(x)$.+ Tìm nghiệm của phương trình $f’(x) = 0$ (nếu có) và tìm các điểm $x_0 in D$ mà tại đó hàm $f$ liên tục nhưng $f"(x_0)$ không tồn tại.+ Vận dụng một trong các định lý sau đây để xác định điểm cực trị của hàm số:Định lý 1: Giả sử hàm số $f$ liên tục trên khoảng $left( a;b ight)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $left( a;x_0 ight)$ và $left( x_0;b ight)$. Khi đó:Nếu $left{ eginarraylf’left( x_0 ight) f’left( x_0 ight) > 0,x in left( x_0;b ight)endarray ight.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$

Bạn đang xem: Tìm cực trị của hàm số chứa căn

Nếu $left{ eginarraylf’left( x_0 ight) > 0,x in left( a;x_0 ight)\f’left( x_0 ight) endarray ight.$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0.$

Định lý 2: Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $left( a;b ight)$ chứa điểm $x_0$, $f’left( x_0 ight) = 0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0.$Nếu $f”left( x_0 ight) Nếu $f”left( x_0 ight) > 0$ thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$

Chú ý: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $D.$ Điểm $x = x_0 in D$ là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn:+ Tại $x = x_0$, đạo hàm triệt tiêu (tức $f"(x_0) = 0$) hoặc không tồn tại.+ Đạo hàm đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0.$

Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:a. $y = – x^4 + 2x^2 + 1.$b. $y = – x^4 + 6x^2 – 8x + 1.$

a. TXĐ: $D = R.$Ta có: $y’ = – 4x^3 + 4x$ $ = – 4x(x^2 – 1)$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = pm 1.$Cách 1: (Dùng định lý 1, xét dấu $y’$)Giới hạn: $mathop lim limits_x o – infty y = – infty ,mathop lim limits_x o + infty y = – infty .$Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = pm 1$ với giá trị cực đại của hàm số là $y( pm 1) = 2$ và hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$ với giá trị cực tiểu của hàm số là $y(0) = 1.$Cách 2: (Dùng định lý 2)$y” = – 12x^2 + 4 = – 4(3x^2 – 1).$$y”left( pm 1 ight) = – 8 $y”left( 0 ight) = 4 > 0$ suy ra $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số và $ my_ mCT = m1 m.$b. TXĐ: $D = R.$Ta có: $y’ = – 4x^3 + 12x – 8$ $ = – 4(x – 1)^2(x + 2)$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = – 2, x = 1.$Giới hạn: $mathop lim limits_x o – infty y = – infty ,mathop lim limits_x o + infty y = – infty .$Bảng biến thiên:

a. TXĐ: $D = R.$Ta có: $y’ = – 3x^2 – 3x + 6$ $ = – 3(x^2 + x – 2)$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = – 2 , x = 1.$$y” = – 6x – 3,$ $y”( – 2) = 9 > 0,$ $y”(1) = – 9 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $ mx = – m 2$, $ my_ mCT = myleft( – m2 ight) = – m9$ hàm số đạt cực đại tại $ mx = m1$, $ my_ mCĐ = myleft( m1 ight) = frac92.$b. Hàm số xác định $ Leftrightarrow x + sqrt x^2 – x + 1 ge 0$ $ Leftrightarrow sqrt x^2 – x + 1 ge – x$$ Leftrightarrow left{ eginarraylx^2 – x + 1 ge 0\– x le 0endarray ight.$ $ vee left{ eginarrayl– x ge 0\x^2 – x + 1 ge ( – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylforall x in R\x ge 0endarray ight. vee left{ eginarraylx le 0\x le 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow x ge 0 vee x le 0 Leftrightarrow x in R.$Vậy tập xác định của hàm số: $D = R.$$y’ = fracleft( x + sqrt x^2 – x + 1 ight)’2sqrt x + sqrt x^2 – x + 1 $ $ = frac1 + frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 2sqrt x + sqrt x^2 – x + 1 $ $ = frac2sqrt x^2 – x + 1 + 2x – 12sqrt x^2 – x + 1 .sqrt x + sqrt x^2 – x + 1 .$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 2sqrt x^2 – x + 1 = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl1 – 2x ge 0\4(x^2 – x + 1) = (1 – 2x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx le frac12\4 = 1endarray ight.$Vậy phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm, lại có $y’$ luôn tồn tại, suy ra hàm số không có điểm cực trị.

Ví dụ 3. Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:a. $y = frac4 – left.$b. $y = left| x + 3 ight| + frac1x + 1.$

a. TXĐ: $D = R.$Nếu $ mx in $ thì $y = frac4 + x4 – x$ $ Rightarrow y’ = frac8(4 – x)^2 > 0,$ $forall x in ( – infty ;0>.$Tại $x = 0$ thì $y"(0^ + ) = – frac12$, $y"(0^ – ) = frac12$. Vì $y"(0^ + ) e y"(0^ – )$ nên $y"(0)$ không tồn tại.Vậy hàm số đạt cực đại tại $ mx = 0, m my_ mCĐ = m1.$b. $y = left| x + 3 ight| + frac1x + 1$ $ = left{ eginarraylx + 3 + frac1x + 1 khi x ge – 3\– (x + 3) + frac1x + 1 khi x endarray ight.$TXĐ: $ mD = Rackslash left – 1 ight.$Nếu $ x ge – 3$ thì $y = x + 3 + frac1x + 1$, ta có: $y’ = 1 – frac1(x + 1)^2$ $ = frac(x + 1)^2 – 1(x + 1)^2.$Và $y’ = 0 Leftrightarrow left{ eginarrayl(x + 1)^2 = 1\x > – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx + 1 = pm 1\x > – 3endarray ight. Leftrightarrow left 0$ nếu $k$ chẵn, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2npi, n in Z$ và $yleft( 2npi ight) = 0.$$y”left( kpi ight) = 2 > 0$ nếu $k$ lẻ, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = left( 2n + 1 ight)pi, n in Z$ và $yleft( 2n + 1 ight)pi = 4.$$y”left( pm frac2pi 3 + k2pi ight)


Xem thêm: Top 18 Trò Chơi Cho Học Sinh Tiểu Học Hay Nhất, Các Trò Chơi Sinh Hoạt Tập Thể