Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay
Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay
A. Phương pháp giải
– Bài toán: Cho 2 phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số m. Tìm m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung– Cách giải:
+ B1: Tìm điều kiện của m để 2 phương trình cùng có nghiệm
+ B2: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình. Tìm x0
+ B3: Thế x0 tìm được vào một trong hai phương trình tìm m
+ B4: Đối chiếu m tìm được với điều kiện ở B1, nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại
Ví dụ 1: Cho 2 phương trình : x2 + mx + 2 = 0(1) và x2 + 2x + m = 0(2). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung
Giải
Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0
Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1
⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≤ -2√2 (*)
Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:
Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: mx0 – 2×0 + 2 – m = 0 ⇔ (m – 2)x0 = m – 2
Do m ≤ -2√2 nên m – 2 ≠ 0, suy ra x0 = 1
Thay x0 = 1 vào phương trình (1): 1 + m + 2 = 0 hay m = -3( thỏa mãn (*))
Vậy với m = -3 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung
Ví dụ 2: Cho 2 phương trình : x2 – 2mx + 4m = 0(1) và x2 – mx + 10m = 0(2) . Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)
Giải
Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ’ ≥ 0
Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0
⇔ m2 – 40m ≥ 0 ⇔ m(m – 40) ≥ 0
⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≥ 40 ∨ m ≤ 0 (*)
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (2) thì 2×0 là nghiệm của phương trình (1). Thay x0 vào (2) và 2×0 vào (1) ta có:
Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: 9m = 0 ⇔ m = 0 (thỏa mãn (*))
Vậy với m = 0 thì phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 3: Cho 2 phương trình : x2 + x + a = 0(1) và x2 + ax + 1 = 0(2).
Bạn đang xem: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
a. Tìm a để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung
b. Tìm a để 2 phương trình tương đương
Giải
a. Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ 1/4
Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0
Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là: a ≤ -2 (*)
Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình (2) ta có:
Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: x0(1 – a) – (1 – a) = 0
⇔ x0(1 – a) = (1 – a) (**)
Vì a ≤ -2 nên 1 – a luôn khác 0. Chia hai vế của (**) cho 1 – a ta được x0 = 1
Thay x0 = 1 vào (1) ta có: a = -2 ( thỏa mãn (*))
Vậy với a = -2 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung
b. Kí hiệu ∆1, S1, P1 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm của phương trình (1)
Kí hiệu ∆2, S2, P2 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm l của phương trình (2)
Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm . Ta xét các trường hợp sau:
+ TH1: Hai phương trình cùng có tập nghiệm là rỗng
Trường hợp này xảy ra khi:
+ TH2: Hai phương trình có nghiệm kép giống nhau
Trường hợp này xảy ra khi vô nghiệm
+ TH3: Hai phương trình có nghiệm phân biệt giống nhau
Trường hợp này xảy ra khi
⇒ vô nghiệm
Vậy với thì 2 phương trình đã cho tương đương
B. Bài tập
Câu 1: Số giá trị của m để hai phương trình x2 – 2mx – 4m + 1 = 0 (1) và x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0 (2) có nghiệm chung là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Giải
Phương trình (1) có nghiệm khi Δ’ ≥ 0 ⇔ m2 + 4m – 1 ≥ 0
Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 – 4(2m + 1) ≥ 0 ⇔ 9m2 – 2m – 3 ≥ 0
Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là:
Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:
Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -2mx0 – (3m + 1)x0 – 4m + 1 – 2m – 1 = 0 ⇔ -(5m + 1)x0 – 6m = 0
Nếu thì điều kiện (*) trở thành
⇒ không thỏa mãn (*), nghĩa là với thì hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì
Khi thì
Thay vào phương trình (1):
Xét –m + 1 = 0 ⇔ m = 1( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận
Xét 40m2 + 7m + 1 = 0 có ∆ = 72 -4.40.1 = -111
B. Tích các giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung bằng 10
C. Giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung là số lớn hơn 3
D. Không có giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung
Giải
Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 4)2 – 4(m + 5) ≥ 0
⇔ m2 + 8m + 16 – 4m – 20 ≥ 0 ⇔ m2 + 4m – 4 ≥ 0
Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 2)2 – 4(m + 1) ≥ 0
⇔ m2 + 4m + 4-4m – 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≥ 0,(∀ m ∈ R)
⇒ Điều kiện để hai phương trình luôn có nghiệm là: m2 + 4m – 4 ≥ 0(*)
Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:
Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(m + 4)x0 + (m + 2)x0 + 4 = 0 ⇔ -2×0 + 4 = 0 ⇔ x0 = 2
Thay vào phương trình (1):
Với m = 1 thì m2 + 4m – 4 = 1 + 4 – 4 = 1 > 0 thỏa mãn điều kiện (*)nên nhận
Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung
Đáp án A
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Xem thêm: Why We Clutter ? The 6 Most Common Types Of Clutter
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.