Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz ta có 2 cách. 1 cách bạn được học trong hình học không gian lớp 11 và 1 cách bạn được học ở hình học không gian tọa độ lớp 12. Tùy theo dữ kiện bài toán cho mà ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết của 2 cách và bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

*


A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Định nghĩa


Gọi a’ là hình chiếu của a xuống mặt phẳng (Q), góc φ được tạo bởi giữa hai đường thẳng a và a’ chính là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Nếu a ⊥ (Q) thì $widehat left( a,left( Q ight) ight)$ = 900.Góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $widehat left( a,left( Q ight) ight)$ ≤ 900.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 11

Để xác định được góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a thì ta làm như sau:

Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (Q)Bước 3: Góc (widehat AOA’ = varphi ) chính là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (Q) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (Q) khi đó AA’ // b.

Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔOAA’


2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Công thức: $sinvarphi = sin left( widehat a,(Q) ight) = left| cos left( overrightarrow n ;overrightarrow u ight) ight| = frac vec u.vec n ight vec u ight$

Trong đó:

$overrightarrow n $ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).$overrightarrow u $ là vecto chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu như VTPT của (Q): $overrightarrow n $ = ( A; B; C) và VTCP của a: $overrightarrow u $ = ( a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:

B. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho đường thẳng a: $fracx + 1 – 3 = fracy + 51 = fracz – 12$ và mặt phẳng (Q): x – 2y + z + 4 = 0. Hãy tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).


Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: $overrightarrow u $ = ( – 3; 1; 2)mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: $overrightarrow n $ = ( 1; – 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:

$sinvarphi = fracsqrt 1^2 + left( – 2 ight)^2 + 1^2 .sqrt left( – 3 ight)^2 + 1^2 + 2^2 = fracsqrt 21 14$

Kết luận: φ ≈ 190.

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz có đường thẳng d: $left{ eginarray*20l x = 2 – t\ y = 1 – 2t\ z = – 3 + t endarray ight.$ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: $overrightarrow u $ = ( – 1; – 2; 1)mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: $overrightarrow n $ = ( – 1; 1; – 2)

Áp dụng công thức (*):

$sinvarphi = frac left( – 1 ight).left( – 1 ight) + 1.left( – 2 ight) + left( – 2 ight).1 ightsqrt left( – 1 ight)^2 + left( 1 ight)^2 + left( – 2 ight)^2 .sqrt left( – 1 ight)^2 + left( – 2 ight)^2 + 1^2 = frac12$

Kết luận: φ = 300.

Xem thêm: Văn Tả Người Thân Của Em Lớp 6 Hay Nhất (51 Mẫu), Văn Tả Người Thân Lớp 6 Hay Nhất (51 Mẫu)

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz có 1 đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng d: $left{ eginarrayl x = 2 – mt\ y = 1 – 2t\ z = – 3 + t endarray ight.$ và phương trình mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: $overrightarrow u $ = ( – m; – 2; 1)mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: $overrightarrow n $ = ( – 1; 1; – 2)$widehat a,(Q) = 30^0$ $ Rightarrow sin left( widehat a,(Q) ight)$$ = sin left( 30^0 ight) = frac12$

Áp dụng công thức (*):

$frac12 = fracleftsqrt left( – 1 ight)^2 + left( 1 ight)^2 + left( – 2 ight)^2 .sqrt left( – m ight)^2 + left( – 2 ight)^2 + 1^2 $$ Leftrightarrow frac12 = fracleftsqrt 6 .sqrt m^2 + 5 Rightarrow left< eginarrayl m = 1\ m = – 17 endarray ight.$