Hướng dẫn giải Bài §4. Cấp số nhân, Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 103 104 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Toán 11 trang 103

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) gọi là cấp số cộng; \(q\) gọi là công bội.

2. Các tính chất

\( \bullet \) Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}\frac{{{q^n} – 1}}{{q – 1}}\).

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 98 sgk Đại số và Giải tích 11

Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng.

Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.

*

Trả lời:

Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu: $2; 4; 8; 16; 32; 64$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 99 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy đọc hoạt động $1$ và cho biết ô thứ $11$ có bao nhiêu hạt thóc?

Trả lời:

Ô thứ $11$ có:

\(\underbrace {2.2.2….2}_{11} = {2^{11}} = 2048\) hạt thóc

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 101 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và \(\displaystyle q = {{ – 1} \over 2}\)

a) Viết năm số hạng đầu của nó

b) So sánh \(u_2^2\) với tích u1.u3 và \(u_3^2\) với tích u2.u4

Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.

Trả lời:

\(\eqalign{& a) \cr& {u_1} = – 2 \cr& {u_2} = {u_1}.q = – 2.{{ – 1} \over 2} = 1 \cr& {u_3} = {u_2}.q = 1.{{ – 1} \over 2} = {{ – 1} \over 2} \cr& {u_4} = {u_3}.q = {{ – 1} \over 2}.{{ – 1} \over 2} = {1 \over 4} \cr& {u_5} = {u_4}.q = {1 \over 4}.{{ – 1} \over 2} = {{ – 1} \over 8} \cr& b) \cr& {u_2}^2 = – 2 \cr& {u_1}.{u_3} = {u_1}.q = – 2.{{ – 1} \over 2} = 1 \cr& \Rightarrow {u_2}^2 = {u_1}.{u_3} \cr& {u_3}^2 = {\left( {{{ – 1} \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4} \cr& {u_2}.{u_4} = 1.{1 \over 4} = {1 \over 4} \cr& \Rightarrow {u_3}^2 = {u_2}.{u_4} \cr& Do\,do:\,{u_k}^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}};\,k \ge 2 \cr} \)

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 101 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính tổng số các hạt thóc ở $11$ ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động $1$.

Trả lời:

Ta có:

S = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + u10 + u11

= u1 + u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 (1)

⇒ S.q = u1.q + u1.q2 +⋯+ u1.q9 + u1.q10 + u1.q11 (2)

Lấy (2) trừ (1), ta được:

*

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 102 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính tổng:

\(\displaystyle S = 1 + {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} + … + {1 \over {{3^n}}}\)

Trả lời:

Cấp số nhân có: \({u_1}=1 \), \(\displaystyle q = {1 \over 3}\)

\( \displaystyle \Rightarrow S = {{{u_1}(1 – {q^n})} \over {1 – q}} = {{1.\left< {1 – {{({1 \over 3})}^n}} \right>} \over {1 – {1 \over 3}}} \) \(\displaystyle = {2 \over 3}\left< {1 – {{({1 \over 3})}^n}} \right>\)

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 103 104 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

fundacionfernandovillalon.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 103 104 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §4. Cấp số nhân trong Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 103 104 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh các dãy số \(\left ( \frac{3}{5} . 2^n \right )\), \(\left (\frac{5}{2^{n}} \right )\), \(\left ( \left ( -\frac{1}{2} \right )^{n} \right )\) là các cấp số nhân.

Bài giải:

Để chứng minh dãy $(u_{n})$là cấp số nhân thì ta chứng minh $u_{n+1}=u_{n}.q$

Với q là công bội của cấp số nhân.

Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\)

Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}= ( \frac{3}{5} . 2^{n+1}) : (\frac{3}{5}. 2^n) =( \frac{3}{5} . 2^{n}.2) : (\frac{3}{5}. 2^n)= 2\).

\(\Rightarrow u_{n+1}= u_n.2; n\in {\mathbb N}^*\)

\(\Rightarrow u_{1}=\frac{3}{5}.2^{1}=\frac{6}{5}\)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{6}{5}\), \(q = 2\)

Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)

Ta có \(u_{n+1}= \frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^{n}}.\frac{1}{2}\)=\( u_n.\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow u_{1}=\frac{5}{2^{1}}=\frac{5}{2}\)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{5}{2}\),\(q= \frac{1}{2}\)

Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)

Ta có \(u_{n+1}= (-\frac{1}{2})^{n+1}=(-\frac{1}{2})^{n}.(-\frac{1}{2})=u_{n}.\frac{-1}{2}\).

\(\Rightarrow u_{1}=\left ( -\frac{1}{2} \right )^{1}=\frac{-1}{2}\)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \frac{-1}{2}\),\(q= \frac{-1}{2}\).

2. Giải bài 2 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho cấp số nhân với công bội \(q\).

a) Biết \(u_1= 2, u_6= 486\). Tìm \(q\).

b) Biết \(q = \frac{2}{3}\), \(u_4= \frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\).

c) Biết \(u_1= 3, q = -2\). Hỏi số \(192\) là số hạng thứ mấy?

Bài giải:

Trong bài này ta áp dụng công thức tính số hạng tổng quát \(u_n= u_1.q^{n-1}\) biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:

a) Biết \(u_1= 2, u_6= 486\)

Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$

Ta có: $u_{6}=u_{1}.q^{6-1}=u_{1}.q^{5}$

$\Rightarrow q^{5}=u_{6}\div u_{1}=486 \div 2=243$

\(\Rightarrow q = 3\).

b) Biết \(q = \frac{2}{3}\), \(u_4= \frac{8}{21}\)

Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$

Ta có: $u_{4}=u_{1}.q^{4-1}=u_{1}.q^{3}$

$\Rightarrow u_{1}=\frac{u_{4}}{q^{3}}=\frac{\frac{8}{21}}{\left ( \frac{2}{3} \right )^3}$

\(\Rightarrow u_1= \frac{9}{7}\)

c) Biết \(u_1= 3, q = -2\)

Theo định lí 2 $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$

Ta có: $u_{n}=192\Rightarrow 3.(-2)^{n-1}=192\Rightarrow 2^{n-1}=64=2^{6}$

$\Rightarrow n-1=6\Rightarrow n=7$

Đáp số: \(n =7\).

3. Giải bài 3 trang 103 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm các số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) có năm số hạng, biết:

a) \(u_3= 3\) và \(u_5= 27\);

b) \(u_4– u_2= 25\) và \(u_3– u_1= 50\)

Bài giải:

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

\(u_3= 3 = u_1.q^2\)

\(u_5= 27 = u_1.q^4\)

Vì \(27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\Rightarrow {q^2} = 9\Rightarrow q = \pm 3\)

Thay \(q^2= 9\) vào công thức chứa \(u_3\)

Ta có \(u_1=\frac{3}{q^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\).

Cấp số nhân $(u_{n})$công bội q có thể viết dưới dạng:

$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; …; u_{1}q^{n-1}; ……$. Ta có:

Nếu \(q = 3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\).

Nếu \(q = -3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27\).

b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=25 & \\ u_{3}-u_{1}=50 & \end{matrix}\right.$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 (2) \end{matrix}\right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với q ta được:

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{3}-u_{1}q=50q (2) \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2}-u_{1}=50\\ 25-50q=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-u_{1}=50\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}=-\frac{200}{3}\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)

Ta có 5 số hạng của cấp số nhân \( \frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\).

4. Giải bài 4 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là \(31\) và tổng của năm số hạng sau là \(62\).

Bài giải:

Giả sử có cấp số nhân: \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\)

Theo giả thiết ta có:

$\left\{\begin{matrix}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31 & \\ {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62 & \end{matrix}\right.$

Nhân hai vế của (1) với \(q\), ta được:

\({u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q ={u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}\)

\(\Rightarrow 62= 31q\)

\(\Rightarrow q = 2\).

Ta có \(S_5= 31 = {{{u_1}(1 – {2^5})} \over {1 – 2}}\)

\(\Rightarrow u_1= 1\).

Vậy ta có cấp số nhân \(1, 2, 4, 8, 16, 32\).

5. Giải bài 5 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh $X$ là \(1,4\% \). Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là \(1,8\) triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau $5$ năm, $10$ năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Bài giải:

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là $x$.

Vì tỉ lệ tăng dân số là \(1,4\%\) nên sau một năm, số dân tăng thêm là $1,4%.x$.

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

\(x + 1,4\%.x = 101,4\%.x =\frac{1014}{1000}.x\).

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

\(x; \frac{1014}{1000}.x; (\frac{1014}{1000})^{2}.x\), …

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, với số hạng đầu \(x = 1,8\) triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là:

\((\frac{1014}{1000})^{5}.1,8 ≈ 1,9\) (triệu người)

và sau $10$ năm số dân sẽ là:

\( (\frac{101,4}{100})^{10}.1,8 ≈ 2,1\) (triệu người).

6. Giải bài 6 trang 104 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng $4$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông$C_{2}$ (h.44). Từ hình vuông $C_{2}$lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi \(a_n\) là độ dài cạnh của hình vuông \(C_n\). Chứng minh dãy số \((a_n)\) là một cấp số nhân.

*

Bài giải:

Xét dãy số \((a_n)\)

Ta có cạnh của hình vuông $C_{1}$là 4 nên ta có \(a_1= 4\).

Cạnh hình vuông \(C_2\)có độ dài cạnh là \(a_2=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\).

Giả sử hình vuông cạnh \(C_n\) có độ dài cạnh là \(a_n\).

Xem thêm: Người Chết Bất Đắc Kỳ Tử Là Gì? Bất Đắc Kỳ Tử Là Gì

Ta sẽ tính cạnh \(a_{n+1}\) của hình vuông \(C_{n+1}\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

\({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{1 \over 4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 4}{a_n}} \right)}^2}} = {a_n}.{{\sqrt {10} } \over 4}\forall n \in {\mathbb N}^*\)

Vậy dãy số \((a_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu là \(a_1= 4\) và công bội \(q = {{\sqrt {10} } \over 4}\).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 103 104 sgk Đại số và Giải tích 11!