Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) (y=x^2,y =x + 2);
b) (y = |lnx|, y = 1);
c) (y = left( x-6 ight)^2,y = 6x-x^2)
a) Phương trình hoành độ giao điểm (f(x) = x^2-x -2 =0 ⇔ x = -1) hoặc (x = 2).
Bạn đang xem: Toán 12 trang 121
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
(S=int_-1^2left |x^2- x- 2 ight |dx = left | int_-1^2left (x^2- x- 2 ight ) dx ight |)
(=left |fracx^33-fracx^22-2x|_-1^2 ight |=left |frac83-2-4-(frac13-frac12+2) ight |)(=4 frac12)
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
(f(x) = 1 – ln|x| = 0 ⇔ lnx = ± 1)
(⇔ x = e) hoặc (x = frac1e)
(y = ln|x| = lnx) nếu (lnx ≥ 0) tức là (x ≥ 1).
hoặc (y = ln|x| = – lnx) nếu (lnx Quảng cáo
(= x|_frac1e^1+int_frac1e^1lnxdx +x|_1^e-int_1^elnxdx)
(=-frac1e+e+int_frac1e^1lndx-int_1^elnxdx)
Ta có (∫lnxdx = xlnx – ∫dx = xlnx – x + C), thay vào trên ta được :
(S=e-frac1e+(xlnx-x)|_frac1e^1- (xlnx-x)|_1^e)(=e+frac1e-2)
c) Phương trình hoành độ giao điểm là:
(fleft( x ight) =6x-x^2-left( x -6 ight)^2 = – 2(x^2-9x+ 18))(=0)
(⇔ – 2(x^2-9x+ 18) ⇔ x = 3) hoặc (x = 6).
Diện tích cần tìm là:
(S=int_3^6|-2(x^2-9x+18)|dx)
(=|2int_3^6(x^2-9x+18)dx|)
(=left |2(fracx^33-frac92x^2+18x)|_3^6 ight |=9).
Quảng cáo
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (y = x^2 + 1), tiếp tuyến với đường thẳng này
tại điểm (M(2;5)) và trục (Oy).
Phương trình tiếp tuyến là (y = 4x – 3).
Phương trình hoành độ giao điểm
(x^2 + 1 =4x – 3 Leftrightarrow x^2 – 4x + 4= 0 ⇔ x = 2).
Do đó diện tích phải tìm là:
(S=int_0^2|x^2+1 -4x+3|dx=int_0^2(x^2-4x+4)dx)
(=frac83=2 frac23).
Xem thêm: Top 10 Bài Văn Tả Cây Mai Vào Dịp Tết Đến Xuân Về Hay Nhất (Ngữ Văn 6)
Bài 3: Parabol (y = x^2 over 2) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính (2sqrt2) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Đường tròn đã cho có phương trình (x^2 + m y^2 = m 8)
Từ đó ta có: (y = pm sqrt 8 + x^2 )
Tọa độ giao điểm của ((C)) và ((P)) thỏa mãn hệ:
(left{ matrixx^2 = 2y hfill crx^2 + y^2 = 8 hfill cr ight. Leftrightarrow left{ matrixy^2 + 2y – 8 = 0 hfill crx^2 = 2y hfill cr ight.)
( Leftrightarrow left{ matrixy = 2 hfill crx = pm 2 hfill cr ight.)
(S_1 = 2int_0^2 left( sqrt 8 – x^2 – x^2 over 2 ight) d mx)
(= 2intlimits_0^2 sqrt 8 – x^2 dx – left< x^3 over 3 ight> left| _0^2 = 2intlimits_0^2 sqrt 8 – x^2 dx – 8 over 3 ight.)
Đặt (x = 2sqrt 2 sin t Rightarrow dx = 2sqrt 2 mathop m costdt olimits )
Đổi cận: (eqalign& x = 0 Rightarrow t = 0 cr& x = 2 Rightarrow t = pi over 4 cr )
(S_1 = 2intlimits_0^pi over 4 sqrt 8 – 8sin ^2t .2sqrt 2 mcostdt – 8 over 3 )
( = 16intlimits_0^pi over 4 cos ^2tdt – 8 over 3 )( = 8intlimits_0^pi over 4 (1 + cos2t)dt – 8 over 3 )