Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua điểm M(x1; y1)
Cách 1 :
– Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :
y = k( x – x1) + y1.
Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm
– (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N(x0; y0) khi hệ:
Cách 2 :
– Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0.
– (d) đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0′(x1 – x0) + y0 (*)
– Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N(x0; y0) , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số y = 2×3 – 3×2 + 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = 6×2 – 6x
Gọi M(x0; y0)∈(C)⇔ y0 = 2×03 – 3×02 + 5 và y"(x0) = 6×02 – 6×0
Phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại M có dạng:
y – y0 = y’(x0)(x – x0)
⇔ y – 2×03 + 3×02 – 5 = (6×02 – 6×0)(x – x0 )
⇔ (6×02- 6×0)x – 4×03 + 3×03 + 5 = y
A ∈ Δ ⇔4 =(6×02 – 6×0).(19/12) – 4×03 + 3×03 + 5
⇔8×03 – 25×02 + 19×0 – 2 = 0
⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8
Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4
Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x – 15
Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = (-21/32)x + 645/128
Bài 2: Cho hàm số:
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R1
Gọi điểm M(x0; y0).
Ta có y’ = -3/(x-1)2
Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình:
Vì tiếp tuyến qua A(0; m) nên ta có:
Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Khi đó:
Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2×2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến.
Hướng dẫn:
Ta có: y’ = 3×2 – 4x + m-1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y =(3a2-4a+m-1)(x-a) + a3-2×2+(m-1)a+2m
Vì M ∈ Δ ⇔2 = (3a2-4a+m-1)(1-a) + a3-2×2+(m-1)a+2m
⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. (1)
Xét hàm số: h(t) = 2t3+5t2-4t, t∈R.
Ta có: h’(t) = 6t2+10t-4. Cho h’(t) = 0 ⇒
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1)
⇒
Bài 4: Cho hàm số y = (1/3)x3-2×2+3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(4/9; 4/3) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.
Hướng dẫn:
Ta có: y’ = x2-4x+3. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x
Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3
Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Hướng dẫn:
Ta có:
Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x – 1/2
Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C):
Hướng dẫn:
Ta có:
Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1
Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6) + 2 = (-1/4)x + 7/2
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2×2 + x + 4 đi qua điểm M( -4; -24)
Hướng dẫn:
Ta có: y’ = 3×2-4x+1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y = (3a2-4a+1)(x-a)+a3-2a2+a+4
Vì A(-4; -24) ∈ Δ ⇔ -24 = (3a2-4a+1)(-4-a)+a3-2a2+a+4
⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔
Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133(x+6)-240 = 133x+508
Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x-2)+6 = 5x-10
Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8(x+1)+2 = 8x+10
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số
A. Y = -28x + 59; y = x + 1
B. Y = -24x + 51; y = x + 1
C. Y = -28x + 59
D. Y = – 28x + 59; y = -24x + 51
Bài 3: Cho hàm số
A.y = (3/4)x
B. Y = (3/4)(x+1)
C. Y = 3(x + 1)
D. Y = 3x + 1
Bài 4: Qua điểm A(0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 – 2×2 + 2
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Bài 5: Cho hàm số y = – x4 + 2×2 có đồ thị (C). Xét hai mệnh đề:
(I) Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với (C) tại M(-1; 1) và tại N(1; 1)
(II) Trục hoành là tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai
D. Cả hai đều đúng
Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6×2 + 9x – 1 có đồ thị là (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C):
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng
A. 1 hoặc -1
B. 4 hoặc 0
C. 2 hoặc -2
D.3 hoặc -3
Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?
A. M = -3 B. M = 3 C. M = -1 D. M = 2
Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 biết nó đi qua điểm M(2; 0) là:
A. Y = 27x ± 54
B. Y = 27x – 9; y = 27x – 2
C. Y = 27x ± 27
D. Y = 0; y = 27x – 54
Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị (C). Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với (C) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:
A. M(4; 12) B. M(- 4; 12) C. M(-4; – 12) D. M( 4; – 12)
Bài 11: Cho hàm số
A. Y = -x + 1 và y = x – 3
B. Y = 2x – 5 và y = -2x + 3
C. Y = -x – 1 và y = – x + 3
D. Y = x + 1 và y = – x – 3
Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 6x + 1 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N(0; 1).
Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; 3).
Xem thêm: Sinh Năm 2016 Là Tuổi Con Gì, Mệnh Gì, Hợp Màu Gì, Hợp Tuổi Nào, Hướng Nào?
A. Y = -6x – 2
B. Y = -6x – 9
C. Y = -6x – 3
D. Y = -6x – 8
Bài 14: Cho hàm số
Bài 15: Cho hàm số
Giới thiệu kênh Youtube VietJack