Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) (\(K\) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1}
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} f\left( {{x_2}} \right)\).
Bạn đang xem: Xác định hàm số đồng biến nghịch biến
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(K\)
a) Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\)
b) Nếu \(f'\left( x \right) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\)
Định lý mở rộng:Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\)
a) Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên \(K\)
b) Nếu \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên \(K\)
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\), tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right) > 0\) là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right)
Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.
Ta có $y' = 8{x^3},y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$
\(y'
Một số trường hợp đặc biệt:
Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên $\mathbb{R}$ .
Phương pháp:
- Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.
- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in$ $\mathbb{R}$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in$$\mathbb{R}$và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.
- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên $\mathbb{R}$ ).
Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0\) \({\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \) \(\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \)$\Leftrightarrow {{(m+2)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow m+2=0$$\Leftrightarrow m=-2$
Cho hàm số$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Khi đó:
$\begin{gathered}f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a > 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a
Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1:Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:
+ Hàm số$y = f\left( x \right)$đồng biến trên$D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D$.
+ Hàm số$y = f\left( x \right)$nghịch biến trên$D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D$.
- Bước 2:Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm$m$.
Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút$m$theo$x$sẽ xảy ra một trong hai trường hợp:$m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$hoặc$m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số$y = g\left( x \right)$trên$D$.
- Kết luận:$\begin{gathered}m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} $
- Bước 3: Kết luận.
Dạng 4: Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)
- Bước 1: Tính \(y'\).
Xem thêm: Cách Tính Điểm Thi Thpt Quốc Gia 2021 Như Thế Nào? Cách Tính Điểm Đại Học 2021 Như Thế Nào
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Hàm số đồng biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)
+ Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right)
- Bước 3: Kết luận.
Mục lục - Toán 12
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 2: Cực trị của hàm số
Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản
Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 5: Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
Bài 6: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập
Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc ba
Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc bốn trùng phương
Bài 9: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương
Bài 10: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ
Bài 11: Phương pháp giải một số bài toán về hàm phân thức có tham số
Bài 12: Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị
Bài 13: Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong
Bài 14: Ôn tập chương I
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Bài 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ - Định nghĩa và tính chất
Bài 2: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Bài 3: Lũy thừa với số mũ thực
Bài 4: Hàm số lũy thừa
Bài 5: Các công thức cần nhớ cho bài toán lãi kép
Bài 6: Logarit - Định nghĩa và tính chất
Bài 7: Phương pháp giải các bài toán về logarit
Bài 8: Số e và logarit tự nhiên
Bài 9: Hàm số mũ
Bài 10: Hàm số logarit
Bài 11: Phương trình mũ và một số phương pháp giải
Bài 12: Phương trình logarit và một số phương pháp giải
Bài 13: Hệ phương trình mũ và logarit
Bài 14: Bất phương trình mũ
Bài 15: Bất phương trình logarit
Bài 16: Ôn tập chương 2
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: Nguyên hàm
Bài 2: Sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm
Bài 3: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm
Bài 4: Tích phân - Khái niệm và tính chất
Bài 5: Tích phân các hàm số cơ bản
Bài 6: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
Bài 7: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân
Bài 8: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Bài 9: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Bài 10: Ôn tập chương III
CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC
Bài 1: Số phức
Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 4: Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức
Bài 5: Dạng lượng giác của số phức
CHƯƠNG 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Bài 1: Khái niệm về khối đa diện
Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện
Bài 3: Khối đa diện đều. Phép vị tự
Bài 4: Thể tích của khối chóp
Bài 5: Thể tích khối hộp, khối lăng trụ
Bài 6: Ôn tập chương Khối đa diện và thể tích
CHƯƠNG 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay – Mặt nón, mặt trụ
Bài 2: Diện tích hình nón, thể tích khối nón
Bài 3: Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ
Bài 4: Lý thuyết mặt cầu, khối cầu
Bài 5: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện
Bài 6: Ôn tập chương VI
CHƯƠNG 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian – Tọa độ điểm
Bài 2: Tọa độ véc tơ
Bài 3: Tích có hướng và ứng dụng
Bài 4: Phương pháp giải các bài toán về tọa độ điểm và véc tơ
Bài 5: Phương trình mặt phẳng
Bài 6: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng
Bài 7: Phương trình đường thẳng
Bài 8: Phương pháp giải các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng
Bài 9: Phương pháp giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng
Bài 10: Phương trình mặt cầu
Bài 11: Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng
Bài 12: Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng
Học toán trực tuyến, tìm kiếm tài liệu toán và chia sẻ kiến thức toán học.