Định nghĩa: Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác định trên (K) ((K) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Hàm số (y = fleft( x ight)) được gọi là đồng biến trên (K) nếu (forall x_1,x_2 in K:x_1

- Hàm số (y = fleft( x ight)) được gọi là nghịch biến trên (K) nếu (forall x_1,x_2 in K:x_1 fleft( x_2 ight)).

Bạn đang xem: Xác định hàm số đồng biến nghịch biến


Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác định và có đạo hàm trên (K)

a) Nếu (f'left( x ight) > 0,forall x in K) thì hàm số (y = fleft( x ight)) đồng biến trên (K)

b) Nếu (f'left( x ight) thì hàm số (y = fleft( x ight)) nghịch biến trên (K)


Định lý mở rộng:Giả sử hàm số (y = fleft( x ight)) có đạo hàm trên (K)

a) Nếu (f'left( x ight) ge 0,forall x in K) và (f'left( x ight) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (K)

b) Nếu (f'left( x ight) le 0,forall x in K) và (f'left( x ight) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên (K)


Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm (f'left( x ight)), tìm các điểm (x_1,x_2,...,x_n) mà tại đó đạo hàm bằng (0) hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà (f'left( x ight) > 0) là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà (f'left( x ight)


Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2x^4 + 1$.

Ta có $y' = 8x^3,y' > 0 Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $left( 0; + infty ight)$

(y'


Một số trường hợp đặc biệt:

*


Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên $mathbbR$ .

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'left( x ight)$.

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = fleft( x ight)$ đồng biến trên $mathbbR$ $Leftrightarrow y' = f'left( x ight) geqslant 0,forall x in$ $mathbbR$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.


+ Hàm số $y = fleft( x ight)$ nghịch biến trên $mathbbR$ $Leftrightarrow y' = f'left( x ight) leqslant 0,forall x in$$mathbbR$và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.


Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số (m) sao cho hàm số (y = dfrac13x^3 - left( m + 1 ight)x^2 - left( 2m + 3 ight)x + 2017) đồng biến trên $mathbbR$ ).

Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên (mathbbR) ( Leftrightarrow y' = x^2 - 2(m + 1)x - (2m + 3) ge 0) ( m forall x in mathbbR.)

( Leftrightarrow Delta ' = (m + 1)^2 + (2m + 3) le 0 ) (Leftrightarrow m^2 + 4m + 4 le 0 )$Leftrightarrow (m+2)^2le 0Leftrightarrow m+2=0$$Leftrightarrow m=-2$


Cho hàm số$fleft( x ight) = ax^2 + bx + cleft( a e 0 ight)$. Khi đó:

$egingatheredfleft( x ight) geqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ egingathereda > 0 hfill \Delta leqslant 0 hfill \ endgathered ight. hfill \fleft( x ight) leqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ egingathereda


Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1:Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số$y = fleft( x ight)$đồng biến trên$D Leftrightarrow y' = f'left( x ight) geqslant 0, forall x in D$.

+ Hàm số$y = fleft( x ight)$nghịch biến trên$D Leftrightarrow y' = f'left( x ight) leqslant 0, forall x in D$.

- Bước 2:Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm$m$.


Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút$m$theo$x$sẽ xảy ra một trong hai trường hợp:$m geqslant gleft( x ight),forall x in D$hoặc$m leqslant gleft( x ight),forall x in D$.

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số$y = gleft( x ight)$trên$D$.

- Kết luận:$egingatheredm geqslant gleft( x ight),forall x in D Rightarrow m geqslant mathop max limits_D gleft( x ight) hfill \m leqslant gleft( x ight),forall x in D Rightarrow m leqslant mathop min limits_D gleft( x ight) hfill \ endgathered $


- Bước 3: Kết luận.


Dạng 4: Tìm m để hàm số (y = dfracax + bcx + d) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (left( alpha ;eta ight))

- Bước 1: Tính (y').

Xem thêm: Cách Tính Điểm Thi Thpt Quốc Gia 2021 Như Thế Nào? Cách Tính Điểm Đại Học 2021 Như Thế Nào

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên (left( alpha ;eta ight) Leftrightarrow left{ eginarrayly' = f'left( x ight) > 0,forall x in left( alpha ;eta ight)\ - dfracdc otin left( alpha ;eta ight)endarray ight.)

+ Hàm số nghịch biến trên (left( alpha ;eta ight) Leftrightarrow left{ eginarrayly' = f'left( x ight)

- Bước 3: Kết luận.


Mục lục - Toán 12
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 2: Cực trị của hàm số
Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản
Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 5: Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
Bài 6: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập
Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc ba
Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc bốn trùng phương
Bài 9: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương
Bài 10: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ
Bài 11: Phương pháp giải một số bài toán về hàm phân thức có tham số
Bài 12: Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị
Bài 13: Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong
Bài 14: Ôn tập chương I
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Bài 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ - Định nghĩa và tính chất
Bài 2: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Bài 3: Lũy thừa với số mũ thực
Bài 4: Hàm số lũy thừa
Bài 5: Các công thức cần nhớ cho bài toán lãi kép
Bài 6: Logarit - Định nghĩa và tính chất
Bài 7: Phương pháp giải các bài toán về logarit
Bài 8: Số e và logarit tự nhiên
Bài 9: Hàm số mũ
Bài 10: Hàm số logarit
Bài 11: Phương trình mũ và một số phương pháp giải
Bài 12: Phương trình logarit và một số phương pháp giải
Bài 13: Hệ phương trình mũ và logarit
Bài 14: Bất phương trình mũ
Bài 15: Bất phương trình logarit
Bài 16: Ôn tập chương 2
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: Nguyên hàm
Bài 2: Sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm
Bài 3: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm
Bài 4: Tích phân - Khái niệm và tính chất
Bài 5: Tích phân các hàm số cơ bản
Bài 6: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
Bài 7: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân
Bài 8: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Bài 9: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Bài 10: Ôn tập chương III
CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC
Bài 1: Số phức
Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 4: Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức
Bài 5: Dạng lượng giác của số phức
CHƯƠNG 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Bài 1: Khái niệm về khối đa diện
Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện
Bài 3: Khối đa diện đều. Phép vị tự
Bài 4: Thể tích của khối chóp
Bài 5: Thể tích khối hộp, khối lăng trụ
Bài 6: Ôn tập chương Khối đa diện và thể tích
CHƯƠNG 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay – Mặt nón, mặt trụ
Bài 2: Diện tích hình nón, thể tích khối nón
Bài 3: Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ
Bài 4: Lý thuyết mặt cầu, khối cầu
Bài 5: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện
Bài 6: Ôn tập chương VI
CHƯƠNG 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian – Tọa độ điểm
Bài 2: Tọa độ véc tơ
Bài 3: Tích có hướng và ứng dụng
Bài 4: Phương pháp giải các bài toán về tọa độ điểm và véc tơ
Bài 5: Phương trình mặt phẳng
Bài 6: Phương pháp giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng
Bài 7: Phương trình đường thẳng
Bài 8: Phương pháp giải các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng
Bài 9: Phương pháp giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng
Bài 10: Phương trình mặt cầu
Bài 11: Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng
Bài 12: Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng
*

*

Học toán trực tuyến, tìm kiếm tài liệu toán và chia sẻ kiến thức toán học.